Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahojte,
poslední dny jsem si tak trochu vylámal zuby na jednoduché rovnici, kterou mám vyřešit jen za pomoci středoškolské matematiky. Tož a proto jsem se zde registroval a prosím o radu:
[mathjax]\frac{x^{2}-3}{\sqrt{x-1}}=\frac{x}{2}[/mathjax]
Neznámá má patřit do [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] (a podmínku že x>1 tam už nedopsali).
Dokonce nabídli na výběr možná řešení, a sice 1, 2, 4, 5, 10.
No a mě zatím nenapadlo nic lepšího, než si buď zkusit všechna z nabízených řešení do rovnice dosadit (rovnost sedí pro x=2), nebo řešení vyloučit takhle:
1. podmínka je, že x>1, takže x může být 2, 4, 5, 10.
2. Všechna nabízená řešení jsou přirozená čísla, a pokud je v čitateli zlomku přirozený číslo, musí být i ve jmenovateli přirozený číslo, protože x/2 je v nejhorším racionální číslo (zlomek dvou nesoudělných čísel). Takže pod odmocninou nesmí být odmocnina ze tří, x nesmí být 4, a je to proto jedno z čísel 2, 5, 10.
3. Když rovničku vynásobím dvojkou vyplývá mně z toho, že x je sudým číslem, takže 2 nebo 10.
4. V tom případě je x/2 buď 1 nebo 5, tj. celý číslo, a tím pádem [mathjax]{x^{2}-3}[/mathjax] nesmí být prvočíslo, což by bylo v případě x=10, takže je řešení x=2.
Tak jsem dle požadavků pravidel diskuze naznačil svoje řešení, ale předpokládám, že vy máte v rukávu něco rozumnějšího a budete ochotní mě k tomu nasměrovat, není- liž pravda.
Dík!
Offline
↑ JuraPopu: Ahoj, vitaj vo fore - ocenujem perfektne pochopenie pravidiel, pouzitie LaTeX-u a uvedenie vlastnych uvah (ani zdaleka to pri novych pouzivateloch nie je obvykle). Ak je ulohou iba vybrat spravne riesenie spomedzi uvedenych, tak tvoje uvahy su v poriadku. Dokonca by som povedal, ze ak mame vybrat spravne riesenie spomedzi piatich, aj obycajne dosadenie by malo byt akceptovane. Ak by ale bolo ulohou najst vsetky riesenia, bez ohladu na navrhovane ... tak to by uz zrejme stredoskolskymi metodami neslo, ide o polynomicku rovnicu stvrteho stupna.
Offline
Dík za přivítání a ocenění "vzornosti".
No jo, mně tam taky vycházel polynom 4. stupně (bez lineárního členu), ale říkám si, že jsem tam určitě přehlídl nějakou možnost, jak to celý přepsat (upravit). Už jen proto, že když se ten polynom nacpe do nějaké webové aplikace, vrátí jen 2 kořeny. Takže si právě myslím, že tam musí existovat nějaká elegantní cestička, jak to rozumně rozepsat a řešit. Nebo klidně i dokonce nějaká úvaha selským rozumem.
Co kdyby nebylo na výběr řešení, jak by se dalo postupovat?
Offline
↑ JuraPopu:
Ahoj,
taky vítám na fóru.
No - když nabídli možnosti, stačí dosazovat :-)
Jinak i mně po nějakých úpravách vychází rovnice 4. stupně, na kterou existuje přímý postup, ale je to dost komplikované. Většinou se to nedělá a řeší se to numericky. Pokud by tě zajímalo přímé řešení, vygoogluj si "kvartická rovnice", určitě něco najdeš.
Offline
Ahoj, existují tvrzení určující podmínky, které platí, pokud je kořen polynomu racionální/celé číslo. Takže tato tvrzení lze využít při hledání kořenů. Např. je-li polynom celočíselný, vedoucí člen má koeficient 1 a všechny kořeny jsou celé, tak platí, že kořen dělí absolutní člen.
Offline
↑ JuraPopu:
...i když v tomto případě by možní přece jenom něco šlo vymyslet hlavou:-)
Po substituci
[mathjax]y=\sqrt {x-1}[/mathjax]
mi vychází rovnice
[mathjax]2y^4-y^3+4y^2-y-4=0[/mathjax]
která má na (můj :=) první pohled kořen y=1. Takže když se vrátíš k substituci...
Offline
↑ JuraPopu:
Abychom si rozuměli - v tom řešení není nic, co by středoškolák nezvládl, jsou to všechno v podstatě úpravy mnohočlenu, ale nezasvěcenému není jasné, proč se dělá zrovna to či ono, protože to vypadá, že v každém kroku je spousta lepších možností.
Většinou nemám rád, když někdo říká, že i když by se to či ono na SŠ udělat dalo, není na to pro spoustu důležitějších věcí čas. Ale v tomto případě to tak opravdu je.
Offline
Nazdar, díky za vaše náhledy. Těší mě, že když jsem na nic snadnýho nepřišel, není to tím, že začínám bét senilní. Nebo jo?
Ať jakkoli, když se taková rovnica při hledání řešení umocní, stejně nakonec děláme zkoušku. A tak při řešení- a můj úkol je vysvětlit to středoškolákovi- přeskočíme jeden krok a přejdeme rovnou k té zkoušce. Protože při hledání řešení asi dojdeme k nehezkým věcem.
I když, hernajs, když zadám do webových aplikací tu kvartickó rovnico, ukazuje to jen dva kořeny.
Offline
↑ JuraPopu:
Zdravím,
Odkaz v řešení jsou tři kořeny, jeden reálný a dva komplexní, při řešení rovnice se substitucí Odkaz jsou pro y vyřešeny čtyři kořeny.
Offline
↑ JuraPopu:
Když to totiž umocníme na druhou, dostaneme tak i řešení rovnice
[mathjax]\frac{x^{2}-3}{\sqrt{x-1}}=-\frac{x}{2}[/mathjax]
Offline
No jo, mně to ukázalo jen reálný kořeny a dál jsem nad tím (běda) nijak nepřemýšlel.
Jak už jsem ale psal výše, v zadání píšou, že [mathjax]x\in \mathbb{R}[/mathjax]. Tím se teď tak trochu hájím.
Původně jsem hledal nějakou snadnou cestu k řešení bez zkoušení, složitostí, softwaru, nebo dokonce věštění.
Offline
Já třeba ani nevím jestli existuje nějaký jednoduchý způsob jak poznat, kolik má rovnice obsahující odmocniny vůbec řešení - pokud uvažujeme celý komplexní obor.
Každý ví, že polynom n-tého stupně má n kořenů. Ale n-tá odmocnina má taky n řešení (nevím, jestli se to může taky nazývat kořeny). A když smícháme mocniny a odmocniny, jestli z toho lze nějak jednoduše poznat počet řešení. Třeba u jednoduché rovnice typu
[mathjax]ax^2 + bx + c \sqrt{x} + d = 0[/mathjax]
Offline
↑ MichalAld:Tady to asi jde poznat snadno. Jde o nezáporná řešení kvartické rovnice a na to jsou kritéria (na počet reálných řešení i jejich znaménka).
Offline
↑ MichalAld:
Ahoj, asi jde zavést substituci, zbavit se odmocniny a získat tak polynomiální rovnici.
Na druhou stranu - je potřeba přesně říct co je to počet řešení u takovýchto rovnic, protože polynomiální rovnice mohou mít násobné kořeny.
Sice n-tých odmocnin daného čísla je více, ale např. rovnici [mathjax]\sqrt{x} = 1[/mathjax] řeší podle mě jen jediné číslo, a to x=1.
Offline
↑ check_drummer:
Jo, to je pravda, u odmocnin je to naopak, že odmocnina z čísla může dát více výsledků.
Offline