Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím, procházím vlákno na Stack Exchange ohledně vysvětlení významu hodností matic a narazil jsem tam na nejasnost.
Jedná se o tom, že se tam vyskytuje příklad:
[mathjax]A = \left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 4 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2}[/mathjax]
[mathjax]x = \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^{2 \times 1}[/mathjax]
[mathjax]\left( \begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \end{array} \right) = y = Ax = \left( \begin{array}{c}
x_1 + 2x_2 \\
2x_1 + 4x_2 \end{array} \right)[/mathjax]
Pak tam dotyčný píše (přeloženo): "Hodnost matice A je 1 a nalezáme y2=2y1, což není nic jiného než přímka procházející počátkem roviny."
Není mi jasné, kde sebral ono y2=2y1. Řešení lineární rovnice je přeci:
[mathjax]x_{1} +2x_{2}=y_{1}[/mathjax]
[mathjax]0 +0=-y_{2}[/mathjax]
Bohužel tam mám příliš čerstvý účet na to, abych se mohl zeptat přímo tam. Říkal jsem si tedy, že to zkusím tady.
Díky všem, kdo si tohle přečtou!
Odkaz na původní příspěvek:
https://math.stackexchange.com/question … atrix-rank
Offline
↑ Nigel Pulsford:
Ale vždyť přece sám uvádíš, že [mathjax]y_1=x_1+2x_2[/mathjax] a [mathjax]y_2=2x_1+4x_2 (=2y_1)[/mathjax]
A pokud už to chceš získat z té upravené matice, tak nemůžeš tu matici upravovat jako homogenní, ale musíš ji upravovat i s těmi ypsilony.
Offline
Jak to tak bývá, jakmile jsem to napsal, pár minut potom jsem na to přišel. Vysvětlení polopatě:
Jedná se o to, že r2 se dá vyjádřit jako:
r2 = 2r1,
protože:
2(x1+2x)=2x1+4x2,
tedy: 2r1=r2
Protože se Ax=y,
řádky jsou vlastně y, tzn.:
y2=2y1
Offline
Můžeš to udělat taky tak, že první rovnici vynásobíš -2, a pak k tomu přičteš tu druhou.
Úplně stejný výsledek dostaneš, když si budeš hrát jen s řádky těch matic.
Nemusíš nakonec ani řešit lineární rovnice, můžeš si hrát jen s tou maticí. Pokud se ti podaří lineární kombinací řádků vytvořit řádek co obsahuje samé nuly, tak má matice určitě o 1 nižší hodnost než je její velikost. Pokud se ti podaří vyrobit další řádek, co má samé nuly, tak je hodnost zase o 1 nižší. A tak dále, až se dostaneš do stavu, kdy už další nulové řádky vytvořit nejde.
Offline
Ten původní dotaz se spíš týká důsledků, proč to vadí, když má matice nižší hodnost, a jaký je "geometrický význam".
Vadí to obecně proto, že taková matice je singulární, tj. že k ní nelze sestrojit inverzní matice. Pokud něco vynásobíme singulární maticí, tak to tím, v jistém smyslu, zničíme. Asi jako když něco vynásobíme nulou - už to nikdy nedostaneme zpátky. Nemůžeme to zpátky tou nulou vydělit. Informace už se ztratila.
Geometrický význam - na ten už jsi asi přišel. Pokud bude N-rozměrná matice regulární, tj. bude mít hodnost N, tak řešením příslušné lineární rovnice je prostě bod v n-rozměrném prostoru. Pokud bude mít matice hodnost N-1, řešením je přímka v tom N-prostoru. Pokud bude mít hodnost N-2, bude řešením rovina. Pokud bude mít hodnost 0 (tj. bude obsahovat samé nuly), řešením je celý N-rozměrný prostor.
Dále je tam otázka, proč se při určování hodnosti matice musí vzít v úvahu počet nezávislých řádků a počet nezávislých sloupců - to, co je menší. Ale podle mě je to jedno, počet nezávislých řádků bude vždycky stejný jako počet nezávislých sloupců, nedokážu si představit, že by to mohlo být jinak (i když už je to dlouho, co jsem tohle studoval).
Pokud budeme mít ovšem matici třeba 2x10, je určitě lepší zjišťovat počet nezávislých řádků (to poznáme hned) než počet nezávislých sloupců. Ale nezávislých sloupců nemůže být více, ani méně, než nezávislých řádků. Nevím ovšem, jak se to dá jednoduše dokázat.
Offline
↑ MichalAld: Ano, toto bylo prvotním cílem mého bádání (než jsem se zasekl na prkotině výše). Díky za nadstandartně kvalitní odpověď, která tuhle problematiku srozumitelně shrnuje.
Offline
MichalAld napsal(a):
nezávislých sloupců nemůže být více, ani méně, než nezávislých řádků. Nevím ovšem, jak se to dá jednoduše dokázat.
Není to sice přímo důkaz, ale pokud by o tom někdo pochyboval, tak stačí představa, že jsou to třeba vektory ve vektorovém prostoru, takže pokud budu mít ve [mathjax]V_2[/mathjax] oněch zmiňovaných deset vektorů (tedy ta matice 2x10), tak je zcela zřejmé a snadno představitelné, že lineárně nezávislé mohou být maximálně 2.
Offline
Stránky: 1