Matematické Fórum

Jak to tak bývá, jakmile jsem to napsal, pár minut potom jsem na to přišel. Vysvětlení polopatě:

Jedná se o to, že r2 se dá vyjádřit jako:
r2 = 2r1,

protože:

2(x1+2x)=2x1+4x2,

tedy: 2r1=r2

Protože se Ax=y,

řádky jsou vlastně y, tzn.:

y2=2y1

Ten původní dotaz se spíš týká důsledků, proč to vadí, když má matice nižší hodnost, a jaký je "geometrický význam".

Vadí to obecně proto, že taková matice je singulární, tj. že k ní nelze sestrojit inverzní matice. Pokud něco vynásobíme singulární maticí, tak to tím, v jistém smyslu, zničíme. Asi jako když něco vynásobíme nulou - už to nikdy nedostaneme zpátky. Nemůžeme to zpátky tou nulou vydělit. Informace už se ztratila.

Geometrický význam - na ten už jsi asi přišel. Pokud bude N-rozměrná matice regulární, tj. bude mít hodnost N, tak řešením příslušné lineární rovnice je prostě bod v n-rozměrném prostoru. Pokud bude mít matice hodnost N-1, řešením je přímka v tom N-prostoru. Pokud bude mít hodnost N-2, bude řešením rovina. Pokud bude mít hodnost 0 (tj. bude obsahovat samé nuly), řešením je celý N-rozměrný prostor.

Dále je tam otázka, proč se při určování hodnosti matice musí vzít v úvahu počet nezávislých řádků a počet nezávislých sloupců - to, co je menší. Ale podle mě je to jedno, počet nezávislých řádků bude vždycky stejný jako počet nezávislých sloupců, nedokážu si představit, že by to mohlo být jinak (i když už je to dlouho, co jsem tohle studoval).

Pokud budeme mít ovšem matici třeba 2x10, je určitě lepší zjišťovat počet nezávislých řádků (to poznáme hned) než počet nezávislých sloupců. Ale nezávislých sloupců nemůže být více, ani méně, než nezávislých řádků. Nevím ovšem, jak se to dá jednoduše dokázat.

MichalAld napsal(a):

nezávislých sloupců nemůže být více, ani méně, než nezávislých řádků. Nevím ovšem, jak se to dá jednoduše dokázat.

Není to sice přímo důkaz, ale pokud by o tom někdo pochyboval, tak stačí představa, že jsou to třeba vektory ve vektorovém prostoru, takže pokud budu mít ve [mathjax]V_2[/mathjax] oněch zmiňovaných deset vektorů (tedy ta matice 2x10), tak je zcela zřejmé a snadno představitelné, že lineárně nezávislé mohou být maximálně 2.