Matematické Fórum

check_drummer · 04. 01. 2023 21:03

Ahoj,
úlohu formuluji co nejjednodušeji, asi půjde zobecnit:
Nechť A je uzavřený interval konečné délky, f je nějaká (búno nezáporná) funkce z A do $R$ , g je libovolná bijekce množiny A.
Uvažujme následující určité integrály (např. Lebesgueovy, ale lze uvažovat i jiné):
$I_{1} := \int_{A} f (x) d x$
$I_{2} := \int_{A} f (g (x)) d x$

V jakém případě (pro libovolné funkce f,g popsané výše) platí následující tvrzení?:
A) Pokud je $I_{1}$ nebo $I_{2}$ konečný, pak i druhý integrál konečný a je $I_{1} = I_{2}$ .
B) Pokud jsou oba integrály $I_{1}$ , $I_{2}$ konečné, pak je $I_{1} = I_{2}$ .

Tj. A) je silnější tvrzení než B).

Bati · 04. 01. 2023 22:24

check_drummer napsal(a):
g je libovolná bijekce množiny A.

Co tim presne myslis?

osman · 04. 01. 2023 22:47 — Editoval osman (06. 01. 2023 10:40)

↑ check_drummer:
Ahoj, když vezmu např.

$A =< 0; 1 >$ , $f (x) = x^{3},$ $g (x) = - x$

oprava: $g (x) = 1 - x$ , aby to byla bijekce, díky ↑ check_drummer:

tak mi vychází, že $g (x)$ by asi měla být rostoucí.

Ale to nebude stačit, když bude třeba $g (x) = x^{2}$ , taky to nefunguje.

check_drummer · 05. 01. 2023 08:06

↑ osman:
g(x)=-x brát nemůžeš, to nebude bijekce.
Ale je pravda,že když vezmeš $g (x) = x^{2}$ , tak to nezafunguje.

check_drummer · 05. 01. 2023 08:06

↑ Bati:
Ahoj, zobrazení z A do A, které je prosté a na.

check_drummer · 05. 01. 2023 08:09

Tak ještě přece jenom, zda neplatí alespoň toto:
C) Pokud je $I_{1}$ nebo $I_{2}$ konečný, pak i druhý integrál konečný.

Bati · 05. 01. 2023 09:50

↑ check_drummer:
To tezko, napr. $\int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}}$ a $g (x) = x^{2}$ .
V tom druhem integralu mas v podstate jinou miru $\frac{d x}{g^{'} (x)}$ , coz se shoduje s $d x$ jen kdyz $g (x) = x + c$ .

check_drummer · 05. 01. 2023 19:39

↑ Bati:
Sice ta funkce není definovína na celém A, ale mám takový pocit, že kdybychom ji v 0 dodefinovali libovolně, že to na věci nic nezmění...

A co:
D) Pokud $I_{1}$ nebo $I_{2}$ existuje, pak i druhý integrál existuje.
E) Pokud je funkce f omezená, pak pokud $I_{1}$ nebo $I_{2}$ existuje, pak i druhý integrál existuje.

Ale nevím, zda to není triviální a zda neexistují ty integrály (Lebesgue) vždy. (Pokud je integrál roven nekonečnu, tak to také chápu tak, že existuje.)

osman · 06. 01. 2023 11:06 — Editoval osman (06. 01. 2023 11:07)

↑ check_drummer:
Pořád mám pocit, že když se bijekce $g (x)$ vyrobí přiměřeně ošklivá, nemusel by $I_{2}$ existovat. Třeba pro Newtonův integrál by myslím stačllo definovat

$g (\frac{1}{p}) = \frac{1}{p + 1}$ , $g (\frac{1}{p + 1}) = \frac{1}{p}$ pokud $p$ je (liché) prvočíslo
$g (x) = x$ pro ostatní $x \in< 0; 1 >$

a klidně může být $f (x) = x$

Nevím, jestli jde vymyslet něco podobného pro L-integrál, ten bude asi hodně otužilý.

Matematické Fórum

#1 04. 01. 2023 21:03

Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#2 04. 01. 2023 22:24

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

check_drummer napsal(a):

#3 04. 01. 2023 22:47 — Editoval osman (06. 01. 2023 10:40)

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#4 05. 01. 2023 08:06

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#5 05. 01. 2023 08:06

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#6 05. 01. 2023 08:09

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#7 05. 01. 2023 09:50

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#8 05. 01. 2023 19:39

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

#9 06. 01. 2023 11:06 — Editoval osman (06. 01. 2023 11:07)

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

Zápatí