Matematické Fórum
Archiv diskusního fóra o matematice, 2006–2026
#51 19. 04. 2023 22:12
- vanok
- Příspěvky: 14611
- Reputace: 742
Re: Modulo N
Pozdravujem,
Cvicenie (7)***
Dokazte, ze tato [mathjax]x^2+y^3=7 [/mathjax] diofanticka rovnice nema riesenie.
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#52 21. 04. 2023 14:53 — Editoval vanok (21. 04. 2023 14:54)
- vanok
- Příspěvky: 14611
- Reputace: 742
Re: Modulo N
Cvicenie (7) sa da vyriesit tak, vyriesite niekolko vlasnosti, ktore bude uzitocne pouzit na nase cvicenie.
(A) zacnime s tymto
Nech p>2 je prvocislo.
Ak rovnica [mathjax] x^2+1=0 [/mathjax] (mod p) ma riesenie, tak [mathjax]p=1[/mathjax] (mod 4)
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#53 22. 04. 2023 13:15 — Editoval vanok (24. 04. 2023 12:43)
- vanok
- Příspěvky: 14611
- Reputace: 742
Re: Modulo N
Mozne riesenie na #52 (A)
Tu p-1 parne.
Ak [mathjax]-1\equiv a^2[/mathjax] ( mod p),
tak
[mathjax](-1)^{( p-1)/2}\equiv (a^2)^{( p-1)/2}\equiv a^{p-1} \equiv 1[/mathjax] (mod p)
(Posledna kongruacie je mala Fermat-ova veta)
A preto
(p-1)/2 je parne a
[mathjax]p\equiv 1[/mathjax] ( mod 4)
Na pokracovanie…..
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#54 24. 04. 2023 13:51 — Editoval vanok (29. 04. 2023 14:29)
- vanok
- Příspěvky: 14611
- Reputace: 742
Re: Modulo N
(B) predpokladajme, ze [mathjax]x^2+y^3=7 [/mathjax] ma aspon jedno riesenie .
1) dokazme, ze potom y musi byt neparne. (Dokazame to sporom).
Ak y by bolo parne
Potom [mathjax]x^2=7 [/mathjax] (mod 8) nie je mozne ( co sa lahko overi…. Ako sme to uz robili v predoslych cviceniach tohto vlakna).
Vo zvysku problemu budeme predpokladat, ze y je neparne.
Na pokracovanie ….
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#55 29. 04. 2023 14:27 — Editoval vanok (02. 05. 2023 21:54)
- vanok
- Příspěvky: 14611
- Reputace: 742
Re: Modulo N
Toto je tiez uzitocne
(B) 2)
Ak nejake priroddzrene cislo s je formy
4k+3,( cize [mathjax]s \equiv 3 [/mathjax] mod 4 ) tak je tiez delitelne prvoom takej istej formy.
(B)3)
Znama identita [mathjax]A^3-B^3=(A-B)(A^2+A.B+B^2)[/mathjax] nam da faktorizaciu [mathjax]8- y^3=(2-y)(4+2y+y^2)[/mathjax]
Tak [mathjax]4+2y+y^2 \equiv 3 [/mathjax] (mod 4).
Preto [mathjax]4+2y+y^2 [/mathjax] je delitrlne nejakym prvocislom formy 4k+3.
Teraz mame vetko na vyriesene daneho problemu. … presnejsie:
Nech x, y su prirodzene cisla take, ze [mathjax]x^2+y^3 =7[/mathjax].
Ukazali sme, ze musi existuovat prvocislo p, ktore deli [mathjax]y^3-8[/mathjax] a [mathjax]p\equiv3 [/mathjax] ( mod 4).
A tiez plati [mathjax]x ^2 +1=8-y^3\equiv 0[/mathjax] (mod p).
Preto -1 je stvorec ( mod p), no toto je nemozne lebo [mathjax] p \equiv 3 [/mathjax] (mod 4)
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline