Matematické Fórum

vanok · 19. 04. 2023 22:12

Pozdravujem,
Cvicenie (7)***
Dokazte, ze tato $x^{2} + y^{3} = 7$ diofanticka rovnice nema riesenie.

vanok · 21. 04. 2023 14:53 — Editoval vanok (21. 04. 2023 14:54)

Cvicenie (7) sa da vyriesit tak, vyriesite niekolko vlasnosti, ktore bude uzitocne pouzit na nase cvicenie.
(A) zacnime s tymto
Nech p>2 je prvocislo.
Ak rovnica $x^{2} + 1 = 0$ (mod p) ma riesenie, tak $p = 1$ (mod 4)

vanok · 22. 04. 2023 13:15 — Editoval vanok (24. 04. 2023 12:43)

Mozne riesenie na #52 (A)
Tu p-1 parne.
Ak $- 1 \equiv a^{2}$ ( mod p),
tak
$(- 1)^{(p - 1) / 2} \equiv (a^{2})^{(p - 1) / 2} \equiv a^{p - 1} \equiv 1$ (mod p)
(Posledna kongruacie je mala Fermat-ova veta)
A preto
(p-1)/2 je parne a
$p \equiv 1$ ( mod 4)

Na pokracovanie…..

vanok · 24. 04. 2023 13:51 — Editoval vanok (29. 04. 2023 14:29)

(B) predpokladajme, ze $x^{2} + y^{3} = 7$ ma aspon jedno riesenie .
1) dokazme, ze potom y musi byt neparne. (Dokazame to sporom).
Ak y by bolo parne
Potom $x^{2} = 7$ (mod 8) nie je mozne ( co sa lahko overi…. Ako sme to uz robili v predoslych cviceniach tohto vlakna).
Vo zvysku problemu budeme predpokladat, ze y je neparne.

Na pokracovanie ….

vanok · 29. 04. 2023 14:27 — Editoval vanok (02. 05. 2023 21:54)

Toto je tiez uzitocne
(B) 2)
Ak nejake priroddzrene cislo s je formy
4k+3,( cize $s \equiv 3$ mod 4 ) tak je tiez delitelne prvoom takej istej formy.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

(B)3)
Znama identita

A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A . B + B^{2})

nam da faktorizaciu

8 - y^{3} = (2 - y) (4 + 2 y + y^{2})

Tak

4 + 2 y + y^{2} \equiv 3

(mod 4).

Preto

4 + 2 y + y^{2}

je delitrlne nejakym prvocislom formy 4k+3.

Teraz mame vetko na vyriesene daneho problemu. … presnejsie:
Nech x, y su prirodzene cisla take, ze

x^{2} + y^{3} = 7

.
Ukazali sme, ze musi existuovat prvocislo p, ktore deli

y^{3} - 8

a

p \equiv 3

( mod 4).
A tiez plati

x^{2} + 1 = 8 - y^{3} \equiv 0

(mod p).
Preto -1 je stvorec ( mod p), no toto je nemozne lebo

p \equiv 3

(mod 4)

Matematické Fórum

#51 19. 04. 2023 22:12

Re: Modulo N

#52 21. 04. 2023 14:53 — Editoval vanok (21. 04. 2023 14:54)

Re: Modulo N

#53 22. 04. 2023 13:15 — Editoval vanok (24. 04. 2023 12:43)

Re: Modulo N

#54 24. 04. 2023 13:51 — Editoval vanok (29. 04. 2023 14:29)

Re: Modulo N

#55 29. 04. 2023 14:27 — Editoval vanok (02. 05. 2023 21:54)

Re: Modulo N

Zápatí