Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#51 19. 04. 2023 22:12

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Pozdravujem,
Cvicenie (7)***
Dokazte, ze tato [mathjax]x^2+y^3=7 [/mathjax] diofanticka rovnice nema riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#52 21. 04. 2023 14:53 — Editoval vanok (21. 04. 2023 14:54)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Cvicenie (7) sa da vyriesit tak, vyriesite niekolko vlasnosti, ktore bude uzitocne pouzit na nase cvicenie.
(A) zacnime s tymto
Nech p>2 je prvocislo.
Ak rovnica [mathjax] x^2+1=0  [/mathjax]  (mod p) ma riesenie, tak [mathjax]p=1[/mathjax] (mod 4)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#53 22. 04. 2023 13:15 — Editoval vanok (24. 04. 2023 12:43)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Mozne riesenie na #52 (A)
Tu p-1 parne.
Ak [mathjax]-1\equiv a^2[/mathjax] ( mod p),
tak
[mathjax](-1)^{( p-1)/2}\equiv (a^2)^{( p-1)/2}\equiv a^{p-1} \equiv 1[/mathjax] (mod p)
(Posledna kongruacie je mala Fermat-ova veta)
A preto
(p-1)/2 je parne a
[mathjax]p\equiv 1[/mathjax] ( mod 4)

Na pokracovanie…..


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#54 24. 04. 2023 13:51 — Editoval vanok (29. 04. 2023 14:29)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

(B) predpokladajme, ze [mathjax]x^2+y^3=7 [/mathjax] ma aspon jedno riesenie .
1) dokazme, ze potom y musi byt neparne. (Dokazame to sporom).
Ak y by bolo parne
Potom  [mathjax]x^2=7 [/mathjax]  (mod 8) nie je mozne ( co sa lahko overi…. Ako sme to uz robili v predoslych cviceniach tohto vlakna).
Vo zvysku problemu budeme predpokladat, ze y je neparne. 

Na pokracovanie ….


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#55 29. 04. 2023 14:27 — Editoval vanok (02. 05. 2023 21:54)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Modulo N

Toto je tiez uzitocne
(B) 2)
Ak nejake priroddzrene cislo s je formy
4k+3,( cize [mathjax]s \equiv 3 [/mathjax] mod 4 )  tak je tiez delitelne prvoom takej istej formy.


(B)3)
Znama identita [mathjax]A^3-B^3=(A-B)(A^2+A.B+B^2)[/mathjax] nam da faktorizaciu [mathjax]8- y^3=(2-y)(4+2y+y^2)[/mathjax]
Tak [mathjax]4+2y+y^2 \equiv 3 [/mathjax] (mod 4).

Preto [mathjax]4+2y+y^2 [/mathjax] je delitrlne nejakym prvocislom formy 4k+3.


Teraz mame vetko na vyriesene daneho problemu. … presnejsie:
Nech x, y su prirodzene cisla take, ze [mathjax]x^2+y^3 =7[/mathjax].
Ukazali sme, ze musi existuovat  prvocislo  p, ktore deli [mathjax]y^3-8[/mathjax]  a [mathjax]p\equiv3 [/mathjax] ( mod 4).
A tiez plati  [mathjax]x ^2 +1=8-y^3\equiv 0[/mathjax] (mod p).
Preto -1 je stvorec ( mod p), no toto je nemozne lebo [mathjax] p \equiv 3 [/mathjax] (mod 4)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson