Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 03. 2023 20:04

check_drummer
Příspěvky: 4534
Reputace:   98 
 

Hrnek držící co nejvíce tepla

Ahoj,
chceme sestrojit hrnek, který udrží nápoj co nejdéle teplý.
Nechť hrnek má obsahovat b jednotek kubických (např. litrů) nápoje, horní otvor má mít plochu c jednotek čtevečních a stěny hrnku propouštějí d krát méně tepla (na jednotku plochy) než horní otvor (b,c,d jsou pevné). (Hrnek musí být zcela plný, tj. musí mít objem b) Jaký pak bude optimální tvar hrnku?

Nabízí se, že koule (resp. její plášť) s uříznutým horním otvorem (tvaru kruhu), ale je to opravdu tak? (Neřešme to, že takový hrnek by byl nestabilní.)

Podle mě není nutné provádět žádné termodynamické úvahy, ale pro hrnek splňujcíí podmínky výše označme povrch hrnku x a řekl bych, že chceme minimalizovat veličinu x. Pokud to tak není, můžeme řešit dvě úlohy - tuto a tu termodynamickou.

Samozřejmě by bylo možné uvažovat to, že u povrchu se bude tekutina více ochlazovat, ale to by bylo příliš komplikované, i když i řešení této úlohy nic nebrání. :-)


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#2 11. 03. 2023 10:06

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4754
Reputace:   125 
 

Re: Hrnek držící co nejvíce tepla

Pokud by tam ten otvor nebyl, tak je to koule určitě, to je jasné. Ale když tam ten otvor bude, tak podle mě ten zbytek už nutně koule být nemusí, obzvlášť když plocha toho otvoru bude srovnatelně velká jako plocha toho zbytku. Ale bůh ví...

Po pravdě, pro 2D plochu nedokážu příslušný variační problém ani napsat, natož abych ho řešil...

Nicméně jeden hint asi poskytnout můžu - ta extremála (plocha optimálního tvaru) se pozná tak, že malá odchylka od optimálního tvaru nezpůsobí téměř žádnou změnu velikosti té plochy.

Asi jako když jsi na vršku paraboly, tak malý pohyb vlevo či vpravo nezpůsobí téměř téměř žádnou změnu tvé výšky.

Ale nevím, jestli je to nějak speciálně užitečná myšlenka, protože nevím, jestli lze nějak jednoduše poznat, že malá změna tvaru plochy způsobí nebo nezpůsobí malou změnu jejího povrchu.

Offline

 

#3 11. 03. 2023 11:41 — Editoval Bati (11. 03. 2023 11:43)

Bati
Příspěvky: 2419
Reputace:   188 
 

Re: Hrnek držící co nejvíce tepla

↑ MichalAld:
Tak napsat ten variacni problem je prave ze to nejsnazsi, element plochy je [mathjax]dS=f(x)d\theta * \sqrt{1+f'(x)^2}dx[/mathjax], pricemz [mathjax]x\in[0,h][/mathjax], [mathjax]f(0)=R_1[/mathjax], [mathjax]f(h)=R_2[/mathjax] a [mathjax]\int_0^hf[/mathjax] je konstantni, tj. nutna podminka minima je
[mathjax]\partial_g\int_0^hf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx=0[/mathjax]
pro vsechny [mathjax]g[/mathjax] splnujici [mathjax]g(0)=g(h)=0[/mathjax] a [mathjax]\int_0^hg=0[/mathjax]. Po preperpatreseni, dostavas rovnici
[mathjax]1-ff''+f'^2=c(1+f'^2)^{\frac32},[/mathjax]
coz je sice retezovka kdyz [mathjax]c=0[/mathjax] (viz znamy soap bubble experiment), ale jinak garantuju, ze z toho polezou pekny hnusy. Trochu problem tohodle pristupu je, ze neznas dopredu h, takze musis jeste optimalizovat "aposteriori" nejakou silenou funkci, coz pujde jen numericky. Mozna by v tomhle ohledu pomohlo to rovnou resit jako obecnou krivku (misto grafu funkce) a zapsat okrajovky spravneji.

↑ check_drummer:
Co se tyce te druhe ulohy, opet zapsat ten variacni problem zas tak tezky nebude, mas sice constraint v podobe rovnice vedeni tepla, ale ta je linearni (za zjednodusenych predpokladu), takze tvarova derivace reseni bude zase reseni homogenni rovnice. Tepelnou prostupnost zdi muzes kvantifikovat pomoci Robinovych podminek (interpolace mezi Dirichlet a Neumann). Musis jen vymyslet, co vlastne chces minimalizovat (prumernou teplotu, gradient, ztraty stenami apod.) a co z toho se bude dobre pocitat. Tvarova optimalizace v tomhle pripade nejspis povede na podminku na krivost hranice, coz je intuitivne zrejme.

↑ check_drummer:↑ MichalAld:
V pripade potreby muzu doplnit specificke detaily, ale na uplnou odpoved ted nemam cas.

Offline

 

#4 12. 03. 2023 20:45

check_drummer
Příspěvky: 4534
Reputace:   98 
 

Re: Hrnek držící co nejvíce tepla

Možná by bylo zajímavé i nějaké numerické řešení.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson