Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Tak napsat ten variacni problem je prave ze to nejsnazsi, element plochy je [mathjax]dS=f(x)d\theta * \sqrt{1+f'(x)^2}dx[/mathjax], pricemz [mathjax]x\in[0,h][/mathjax], [mathjax]f(0)=R_1[/mathjax], [mathjax]f(h)=R_2[/mathjax] a [mathjax]\int_0^hf[/mathjax] je konstantni, tj. nutna podminka minima je
[mathjax]\partial_g\int_0^hf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx=0[/mathjax]
pro vsechny [mathjax]g[/mathjax] splnujici [mathjax]g(0)=g(h)=0[/mathjax] a [mathjax]\int_0^hg=0[/mathjax]. Po preperpatreseni, dostavas rovnici
[mathjax]1-ff''+f'^2=c(1+f'^2)^{\frac32},[/mathjax]
coz je sice retezovka kdyz [mathjax]c=0[/mathjax] (viz znamy soap bubble experiment), ale jinak garantuju, ze z toho polezou pekny hnusy. Trochu problem tohodle pristupu je, ze neznas dopredu h, takze musis jeste optimalizovat "aposteriori" nejakou silenou funkci, coz pujde jen numericky. Mozna by v tomhle ohledu pomohlo to rovnou resit jako obecnou krivku (misto grafu funkce) a zapsat okrajovky spravneji.

↑ check_drummer:
Co se tyce te druhe ulohy, opet zapsat ten variacni problem zas tak tezky nebude, mas sice constraint v podobe rovnice vedeni tepla, ale ta je linearni (za zjednodusenych predpokladu), takze tvarova derivace reseni bude zase reseni homogenni rovnice. Tepelnou prostupnost zdi muzes kvantifikovat pomoci Robinovych podminek (interpolace mezi Dirichlet a Neumann). Musis jen vymyslet, co vlastne chces minimalizovat (prumernou teplotu, gradient, ztraty stenami apod.) a co z toho se bude dobre pocitat. Tvarova optimalizace v tomhle pripade nejspis povede na podminku na krivost hranice, coz je intuitivne zrejme.

↑ check_drummer:↑ MichalAld:
V pripade potreby muzu doplnit specificke detaily, ale na uplnou odpoved ted nemam cas.