Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 17. 04. 2023 17:48 — Editoval Chavier (17. 04. 2023 17:49)
súčet konvergentného radu
Zdravím,
skúšal som rôzne postupy ako nájsť súčet tohtoradu:
[mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot (n-3)\cdot (n-8)}[/mathjax]
Napadlo ma urobiť rozklad na 3 zlomky:
[mathjax]\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot (n-3)\cdot (n-8)} = \sum_{}^{}\frac{A}{n}+\frac{B}{n-3}+\frac{C}{n-8}[/mathjax]
kde [mathjax]A= \frac{1}{24}, B=\frac{-1}{15}, C = \frac{1}{40}[/mathjax]
Ale ďalej sa neviem pohnuť. Hľadám nejaký jenoduchy postup, kde sa nekonečný počet podpostupnosti odčíta, a ostanú začiatočné alebo koncové body (prípadne oboje).
Problém je, že by som to vedel urobiť ak by boli koeficienty A,B,C rovné 1.
Offline
#2 17. 04. 2023 18:36
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1150
- Reputace: 19
- Web
Re: súčet konvergentného radu
↑ Chavier:
čemu se rovná např. 3. člen, 8.člen?
Zkusil bych najít nejmenší společný násobek čísel 24,15,40, ale nevím, zda-li to pomůže.
Offline
#3 17. 04. 2023 18:40 Příspěvek uživatele surovec byl skryt uživatelem surovec. Důvod: Neexistenci už naznačil Tuček.
#4 17. 04. 2023 19:07
#5 17. 04. 2023 19:09
Re: súčet konvergentného radu
↑ Richard Tuček: 3 člen -> n = 4 a 8.clen -> n= 9, predpokladame, ze sucet je pre vsetky n mimo 3 a 8
Offline
#6 17. 04. 2023 19:19 — Editoval surovec (17. 04. 2023 19:21)
Re: súčet konvergentného radu
↑ Chavier:
Pokud víš součet pro A = +-1, B = +-1, C = +-1 (jak jsem pochopil ze tvé poznámky), tak by možná pomohl přepis do:
[mathjax]\sum_{n=9}^{\infty }\frac{1}{n\cdot (n-3)\cdot (n-8)} = \frac{1}{24}\sum_{n=9}^{\infty }\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-3}\right)-\frac{1}{40}\sum_{n=9}^{\infty }\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-8}\right)[/mathjax]
Členy pro [mathjax]n<9\wedge n\ne 3\wedge n\ne 8[/mathjax] by se pak přičetly "ručně".
Offline
#7 18. 04. 2023 14:03 — Editoval osman (18. 04. 2023 14:45)
Re: súčet konvergentného radu
↑ Chavier:
Ahoj, pokud
[mathjax]\sum_{i=9}^{\infty }\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)} = \sum_{}^{}\frac{A}{i}+\frac{B}{i-3}+\frac{C}{i-8}[/mathjax], kde [mathjax]A= \frac{1}{24}, B=\frac{-1}{15}, C = \frac{1}{40}[/mathjax]
tak se součet prvních [mathjax]n[/mathjax] členů řady (počínaje 9. členem) dá přepsat jako
[mathjax]s_{n}=\frac{1}{120}(\sum _{i=9}^{n}\frac{5}{i}-\sum _{i=6}^{n-3}\frac{8}{i}+\sum _{i=1}^{n-8}\frac{3}{i})[/mathjax]
a protože [mathjax]\sum _{i=1}^{n}\frac{5-8+3}{i}=0[/mathjax]
stačí se zabývat nadbytečnými členy.
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
#8 26. 04. 2023 00:13 — Editoval Chavier (26. 04. 2023 00:14)
Re: súčet konvergentného radu
osman napsal(a):
↑ Chavier:
a protože [mathjax]\sum _{i=1}^{n}\frac{5-8+3}{i}=0[/mathjax]
stačí se zabývat nadbytečnými členy.
Ako vieš, že je to nula, čo ak mi na konci ostanu nejake členy. Ide o to, že tie sumy nezačínaju rovnakým i.
Offline
#9 26. 04. 2023 20:10
Re: súčet konvergentného radu
[mathjax]\begin{align}
& \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}=\sum\limits_{i\in\left\{1,2,4,5,6,7\right\}}^{}{\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}}+\frac{1}{120}\sum\limits_{i=9}^{n }\frac{120}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}=\\
&=\sum\limits_{i\in\left\{1,2,4,5,6,7\right\}}^{}{\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}}+\frac{1}{120}\left(\sum\limits_{i=9}^{n}{\frac{5}{i}}-\sum\limits_{i=9}^{n}{\frac{8}{i-3}} +\sum\limits_{i=9}^{n}{\frac{3}{i-8}}\right) =\sum\limits_{i\in\left\{1,2,4,5,6,7\right\}}^{}{\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}}+\frac{1}{120}\left(\sum\limits_{i=9}^{n}{\frac{5}{i}}-\sum\limits_{i=6}^{n-3}{\frac{8}{i}} +\sum\limits_{i=1}^{n-8}{\frac{3}{i}}\right)=\\
&=\sum\limits_{i\in\left\{1,2,4,5,6,7\right\}}^{}{\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}}+\frac{1}{120}\left(\sum\limits_{i\in\left\{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3,n-2,n-1,n\right\}}^{}{\frac{5}{i}}+\sum\limits_{i=9}^{n-8}{\frac{5}{i}}-\frac{8}{6}-\frac{8}{7}-1-\sum\limits_{i\in\left\{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3\right\}}^{}{\frac{8}{i}}-\sum\limits_{i=9}^{n-8}{\frac{8}{i}} +\sum\limits_{i=9}^{n-8}{\frac{3}{i}}+\sum\limits_{i\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}^{}{\frac{3}{i}}\right)=\\
&=\sum\limits_{i\in\left\{1,2,4,5,6,7\right\}}^{}{\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}}+\frac{1}{120}\left(\sum\limits_{i\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}^{}{\frac{3}{i}}-\frac{8}{6}-\frac{8}{7}-1+\sum\limits_{i\in\left\{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3,n-2,n-1,n\right\}}^{}{\frac{5}{i}}-\sum\limits_{i\in\left\{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3\right\}}^{}{\frac{8}{i}}\right)
\end{align}[/mathjax]
MATH IS THE BEST!!!
Offline