Matematické Fórum

↑ Richard Tuček: 3 člen  -> n = 4 a 8.clen -> n= 9, predpokladame, ze sucet je pre vsetky n mimo 3 a 8

↑ Chavier:
Ahoj, pokud

$\sum _{i=9}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}=\sum _{}^{}\frac{A}{i}+\frac{B}{i-3}+\frac{C}{i-8}$, kde $A=\frac{1}{24},B=\frac{-1}{15},C=\frac{1}{40}$

tak se součet prvních $n$ členů řady (počínaje 9. členem) dá přepsat jako

$s_n=\frac{1}{120}(\sum _{i=9}^n\frac{5}{i}-\sum _{i=6}^{n-3}\frac{8}{i}+\sum _{i=1}^{n-8}\frac{3}{i})$

a protože $\sum _{i=1}^n\frac{5-8+3}{i}=0$

stačí se zabývat nadbytečnými členy.

$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}=\sum _{i\in \{1,2,4,5,6,7\}}^{}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}+\frac{1}{120}\sum _{i=9}^n\frac{120}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}=\\ & =\sum _{i\in \{1,2,4,5,6,7\}}^{}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}+\frac{1}{120}(\sum _{i=9}^n\frac{5}{i}-\sum _{i=9}^n\frac{8}{i-3}+\sum _{i=9}^n\frac{3}{i-8})=\sum _{i\in \{1,2,4,5,6,7\}}^{}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}+\frac{1}{120}(\sum _{i=9}^n\frac{5}{i}-\sum _{i=6}^{n-3}\frac{8}{i}+\sum _{i=1}^{n-8}\frac{3}{i})=\\ & =\sum _{i\in \{1,2,4,5,6,7\}}^{}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}+\frac{1}{120}(\sum _{i\in \{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3,n-2,n-1,n\}}^{}\frac{5}{i}+\sum _{i=9}^{n-8}\frac{5}{i}-\frac{8}{6}-\frac{8}{7}-1-\sum _{i\in \{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3\}}^{}\frac{8}{i}-\sum _{i=9}^{n-8}\frac{8}{i}+\sum _{i=9}^{n-8}\frac{3}{i}+\sum _{i\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}^{}\frac{3}{i})=\\ & =\sum _{i\in \{1,2,4,5,6,7\}}^{}\frac{1}{i\cdot (i-3)\cdot (i-8)}+\frac{1}{120}(\sum _{i\in \{1,2,3,4,5,6,7,8\}}^{}\frac{3}{i}-\frac{8}{6}-\frac{8}{7}-1+\sum _{i\in \{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3,n-2,n-1,n\}}^{}\frac{5}{i}-\sum _{i\in \{n-7,n-6,n-5,n-4,n-3\}}^{}\frac{8}{i})\end{array}$