Matematické Fórum

↑ marostul:

Hezký den.

Řekl bych, že v konstrukci integrálu. Podle mě je k integraci

[mathjax]\frac{A}{4}=3\pi a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin ^{4}t\cos^2t dt[/mathjax],

pak Odkaz

↑ Jj: teto integrál bol odvodzovaný na fóre a je dosť komplikovaný. na fóre je uvedený vpočítať integrál [mathjax]\int_{0}^{1}(1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}dx[/mathjax] ten som skúsil vypočítať ale výsledok nebol správny ďakujem za reakciu

ďakujem za reakciu, ja som sa pokúsil upraviť integrál podľa integrácie kružnice podľa vzorca [mathjax]2\pi \int_{}^{}r=1\cdot 2\pi =(\sin ^{2}+\cos ^{2})2\pi \int_{}^{}r=\frac{2\pi r^{2}}{2}=\pi r^{2}[/mathjax] sin^2 a cos^2 si môžeme upraviť podľa vzorca [mathjax]\int_{}^{}(\sin t)´dt\sin t+\int_{}^{}(\cos )´dt\cos t=\int_{}^{}(\cos t)dt\sin t+\int_{}^{}(-\cos t)dt\cos t=\sin^{2}+\cos ^{2} [/mathjax] z rovníc pre asteroidu  [mathjax]x=a\cos ^{3}t[/mathjax] a [mathjax]y=a\sin ^{3}t[/mathjax]. z toho môžeme odvodiť rovnice[mathjax](a\sin ^{3}t)´\sin =a3\sin ^{2}t\cos t\sin t=3a\sin ^{3}t\cos t[/mathjax] pre cos [mathjax](a\cos t)´=a3\cos ^{2}\cdot -\sin t\cos t=3a\cos ^{3}\cdot -\sin t[/mathjax] z týchto rovníc dostaneme integrál [mathjax](3\int_{}^{}\sin ^{3}t\cos t+3\int_{}^{}\cos ^{3}t\cdot -\sin t)\pi \int_{}^{}a[/mathjax] dostaneme výsledok pre 360° [mathjax](3\frac{0^{4}}{4}+3\frac{1^{4}}{4})\pi \frac{a^{2}}{2}=\frac{3}{8}\pi a^{2}[/mathjax] dúfam, že mi to vyšlo. potrebovali sme dvojku zmeniť pretože plocha nie je ohraničená kružnicou. keby sme použili určité integrály tak by celkový výsledok bol 0.

↑ marostul:v podstate nepotrebujeme žiadný integrál. ked si uvedomíme, že asteroida je vytvorená kružnicou ktorá sa valí v kružnici s polomerom a. polomer valiacej kružnice je 1/4a. dĺžka obvodu kružnice je 6a, z toho môžeme odvodiť jednoduchú rovnicu [mathjax]A=(\frac{a}{4})^{2}\cdot 6\pi =\frac{6}{16}\pi a^{2}=\frac{3}{8}\pi a^{2}[/mathjax] malo by to vychádzať na každú krivku v ktorej sa valí kružnica s daným polomerom a/x

↑ marostul:
Řešíme [mathjax]A=12a^{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{4}cos^{2}tdt[/mathjax]
[mathjax]\int_{}^{}sin^{4}t\cdot cos^{2}tdt=\frac{1}{6}(sin^{5}t\cdot cost+\int_{}^{}sin^{4}tdt)=\frac{1}{6}(sin^{5}t\cdot cost+\frac{3}{8}t-\frac{1}{4}sin2t+\frac{1}{32}sin4t)[/mathjax]
Pak [mathjax]A=2a^{2}\frac{3}{8}\frac{\pi }{2}=\frac{3}{8}\pi a^{2}[/mathjax]

Poznámka: Pro plochy prostých hypocykloid platí vztah [mathjax]A=\frac{(n-1)(n-2)}{n^{2}}\pi a^{2}[/mathjax]
Pro n=4 dostaneš výše uvedený výsledek