Matematické Fórum

↑ Matytus:

Hezký den.

Wolfram:

Odkaz

Mě taky přijde, že používat Laplaceovu transformaci věc spíš komplikuje než zjednodušuje. Rovnice

[mathjax]y''+y=0[/mathjax]

je rovnice harmonického oscilátoru (s [mathjax]\omega^2=1[/mathjax]), a i když to nevíme, tak dosazením "pokusného řešení" [mathjax]y=Ae^{\lambda x}[/mathjax] zjistíme, že možné hodnoty [mathjax]\lambda [/mathjax] jsou [mathjax]\lambda = \pm 1[/mathjax], tedy obecné řešení je

[mathjax]y = A e^{ix} + B e^{-ix} = C \sin(\omega x + \varphi)[/mathjax]

No a dál - odezva takovýchto lin. dif. rovnic (které nemají póly v nule) na konstantní signál je zase konstantní signál. Stačí zjistit, jak velký.

[mathjax]y'' + y = 9 => y=Q[/mathjax]

Dosazením zjistíme jak velké to Q je, v tomto případě je to triviální.

No a odezva na [mathjax]y=A e^{kx}[/mathjax] je zase [mathjax]y=P e^{kx}[/mathjax], nemůže to být nic jiného. Zase stačí dosadit a najít jaké musí být P.

(pozor si musíme dát jen na rovnice, co mají póly v nule, jako by byla třeba rovnice [mathjax]y'=9[/mathjax], tam je to trochu složitější).