Matematické Fórum

↑ FRhapsody:
1) Zopakuj si úpravy výrazu - mnohocleny mocniny, logaritmy, goniometricke výrazy.
2} Limity rešene rozkladem a následným krácením.
3) Limity řešené rozsirenim (to je i ta tvoje limita).
4} Limity rešene úpravou mocninnych, logaritmickych a goniometrickych výrazu.
5) Limitní vzorce.
6) Naučit se derivovat.
7) l'Hospital.
8) Další metody (Taylor atd.).

Pokud se chceš dopracovat k derivování, integrování a případně diferenciálním rovnicím, tak není třeba ztrácet příliš mnoho času tím, jak se počítají některé specifické limity. Limity jsou častokrát problém i pro lidi, co se v diferenciálním počtu orientují. Vlastně se dá říct, že jsou to takové hádanky ... když uhádneš způsob který vede k cíli, tak limitu vypočítáš, když né, tak máš smůlu...
Spíš je důležité pochopit, co to ta limita vlastně je, než jak se v konkrétním případě počítá...
Vlastně se dá říct, že při derivování, integrování a případně i řešení diferenciálních rovnic limity možná ani nebudeš potřebovat. Takže když budeš řešit jen jednoduché příklady na limity, tak nakonec o mnoho nepřijdeš.

↑ FRhapsody:

Ahoj, jen doplnim, ze to L'Hospitalovo pravidlo neni vsemocne. Jednak lze pouzit jen na limity obsahujici zlomek (a na limity, ktere lze prevest na limitu zlomku).
A jednak u nekterych typu limit zlomku jeho prime pouziti nevede nikam, viz napriklad limity:

[mathjax] {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} },\qquad [/mathjax]  [mathjax]  {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} },\qquad [/mathjax]   [mathjax]  {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x-\cos x} },\qquad [/mathjax]


Jinak limity se pouzivaji nejen v definici derivaci, ale libovolnou limitu si lze rovnez predstavit u vypoctu urcitych integralu:

[mathjax] {\displaystyle  \int_a^b f'(x) \mathrm{d}x = \lim\limits_{x\to b-}f(x) - \lim\limits_{x\to a+}f(x) } [/mathjax]

Takze napriklad pro funkci [mathjax] {\displaystyle  f'(x) = \left(\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1}\right)' = \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{x+3}+3}{2\sqrt{x(x+3)}(\sqrt{x}-1)^2} } [/mathjax] plati:

[mathjax] {\displaystyle \int_0^1   \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{x+3}+3}{2\sqrt{x(x+3)}(\sqrt{x}-1)^2}\, \mathrm{d}x  = \lim\limits_{x\to1-}\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1}  - \lim\limits_{x\to0+}\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1} = \cdots } [/mathjax]