#1 20. 05. 2023 15:56
Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
Zdravím,
nedávno jsem se začal v rámci samostudia učit diferenciální a integrální počet, konkrétně se v tuto chvíli nacházím teprve u limit funkcí. V rámci toho mám problém s tím, že nevím, co se učit dříve. Např. ve sbírce příkladů, kde se předpokládá, že člověk ještě neumí derivovat, jsou příklady na použití L'Hospitalova pravidla - např. [mathjax]\lim_{x\to1}(2-\sqrt{x+3})/(\sqrt{x}-1)[/mathjax] (alespoň to mi tvrdí photomath). Jsem z toho tedy dost zmatený. Poradili byste mi prosím, v jakém pořadí bych se měl učit témata z tohoto celku? Chtěl bych se toto téma zatím naučit pouze na středoškolské úrovni, ale rozhodně bych se chtěl v rámci této úrovně dopracovat k určitým integrálům.
Předem mockrát děkuji.
Lidé, kteří si osvojili principy matematiky, mají o jeden smysl víc než obyčejní smrtelníci. (Darwin)
Offline
#2 20. 05. 2023 16:13
Re: Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
↑ FRhapsody: Limita tohoto a podobneho typu sa da najst aj bez l’Hospitalovho pravidla. Nepouzivajte Photomath.
Offline
#3 20. 05. 2023 16:18 — Editoval surovec (20. 05. 2023 16:18)
Re: Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
↑ FRhapsody:
1) Zopakuj si úpravy výrazu - mnohocleny mocniny, logaritmy, goniometricke výrazy.
2} Limity rešene rozkladem a následným krácením.
3) Limity řešené rozsirenim (to je i ta tvoje limita).
4} Limity rešene úpravou mocninnych, logaritmickych a goniometrickych výrazu.
5) Limitní vzorce.
6) Naučit se derivovat.
7) l'Hospital.
8) Další metody (Taylor atd.).
Offline
#4 20. 05. 2023 17:02
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
↑ FRhapsody:
Zkuste si tu limitu spočítat bez L'Hospitala a pak pomocí L'Hospitala a musí to vyjít stejně.
Trochu napovím: Máme neurčitý výraz 0/0, zkusil bych ten výraz rozšířit výrazem (odm(x)+1), pak výrazem (2+odm(x+3))
L'Hospital znamená, že derivujeme čitatele i jmenovatele. Pozor: nejedná se o derivaci podílu.
Výsledek je -1/2
O Limitách a derivacích je též na mém webu www.tucekweb.info, sekce matematika.
Offline
#5 21. 05. 2023 12:03
Re: Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
Pokud se chceš dopracovat k derivování, integrování a případně diferenciálním rovnicím, tak není třeba ztrácet příliš mnoho času tím, jak se počítají některé specifické limity. Limity jsou častokrát problém i pro lidi, co se v diferenciálním počtu orientují. Vlastně se dá říct, že jsou to takové hádanky ... když uhádneš způsob který vede k cíli, tak limitu vypočítáš, když né, tak máš smůlu...
Spíš je důležité pochopit, co to ta limita vlastně je, než jak se v konkrétním případě počítá...
Vlastně se dá říct, že při derivování, integrování a případně i řešení diferenciálních rovnic limity možná ani nebudeš potřebovat. Takže když budeš řešit jen jednoduché příklady na limity, tak nakonec o mnoho nepřijdeš.
Offline
#7 21. 05. 2023 17:01
Re: Osnova učiva diferenciálního a integrálního počtu
↑ FRhapsody:
Ahoj, jen doplnim, ze to L'Hospitalovo pravidlo neni vsemocne. Jednak lze pouzit jen na limity obsahujici zlomek (a na limity, ktere lze prevest na limitu zlomku).
A jednak u nekterych typu limit zlomku jeho prime pouziti nevede nikam, viz napriklad limity:
[mathjax] {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}} },\qquad [/mathjax] [mathjax] {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} },\qquad [/mathjax] [mathjax] {\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x+\cos x}{x-\cos x} },\qquad [/mathjax]
Jinak limity se pouzivaji nejen v definici derivaci, ale libovolnou limitu si lze rovnez predstavit u vypoctu urcitych integralu:
[mathjax] {\displaystyle \int_a^b f'(x) \mathrm{d}x = \lim\limits_{x\to b-}f(x) - \lim\limits_{x\to a+}f(x) } [/mathjax]
Takze napriklad pro funkci [mathjax] {\displaystyle f'(x) = \left(\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1}\right)' = \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{x+3}+3}{2\sqrt{x(x+3)}(\sqrt{x}-1)^2} } [/mathjax] plati:
[mathjax] {\displaystyle \int_0^1 \frac{\sqrt{x}-2\sqrt{x+3}+3}{2\sqrt{x(x+3)}(\sqrt{x}-1)^2}\, \mathrm{d}x = \lim\limits_{x\to1-}\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1} - \lim\limits_{x\to0+}\frac{2-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x}-1} = \cdots } [/mathjax]
Offline