Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím,
mám problém s jedním příkladem ze sbírky
Mějte sigma algebru [mathjax]\beta [/mathjax] na nějakém spočetném prostoru [mathjax]X[/mathjax] a množinu [mathjax]Y\in \mathbb{P(X)} \setminus \beta [/mathjax] (tedy Y náleží do potenční množiny P(X) minus sigma algebra [mathjax]\beta[/mathjax]).
A nyní mám ukázat, že sigma obal se rovná
[mathjax]\sigma( \beta \cup \{Y\}) = \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax].
A vůbec si s tím nevím rady. Nejspíš bych začal tím, že ukážu, že [mathjax] \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax] je [mathjax]\sigma[/mathjax]-algebra, tím, že splňuje všechny 3 vlastnosti z definice. Poté bych ukázal, že [mathjax]\beta[/mathjax] patří do [mathjax]\{...\}[/mathjax]. Nicméně nyní k těm 3 vlastnostem:
(i) zřejmě [mathjax]\emptyset , X \in \beta[/mathjax] z definice toho, že máme sigmu algebru na prostoru [mathjax]X[/mathjax]
(ii) teď bych tedy měl ukázat, že [mathjax] \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax] je [mathjax]\sigma[/mathjax] patří do [mathjax]\in \beta[/mathjax] a je uzavřená na komplement?
Předpokládám, že to bude nějaká práce s množinovými operacemi
[mathjax] (C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}) = (C_1^c \cup Y^c)^c \cup (C_2^c \cup Y)^c[/mathjax] ale moc nevím, čím bych si dál mohl pomoci.
(iii) Nevím, jak bych dokázal tu třetí vlastnost, mohli byste mi prosím pomoct?
Díky!
Offline
↑ Cauchy853211:
sigma algebra je uzavřená na spočetné sjednocení a komplement. Obsahuje prázdnou množinu a celý prostor.
Pokud tam přidám množinu Y, která není v sigma algebře obsažena, musíme tam přidat její doplněk, sjednocení se všemi množinami ze sigma alg. a průniky se všemi množinami ze sigma alg.
O sigma algebře je též na mém webu www.tucekweb.info (kapitola Teorie míry)
Offline
↑ Richard Tuček:
Ahoj
Vlastně je to hezké použití De Morganových pravidel.
Offline