Matematické Fórum

Zdravím,

mám problém s jedním příkladem ze sbírky

Mějte sigma algebru [mathjax]\beta [/mathjax] na nějakém spočetném prostoru [mathjax]X[/mathjax] a množinu [mathjax]Y\in \mathbb{P(X)} \setminus \beta [/mathjax] (tedy Y náleží do potenční množiny P(X) minus sigma algebra [mathjax]\beta[/mathjax]).

A nyní mám ukázat, že sigma obal se rovná
[mathjax]\sigma( \beta \cup \{Y\}) = \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax].

A vůbec si s tím nevím rady. Nejspíš bych začal tím, že ukážu, že [mathjax] \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax] je [mathjax]\sigma[/mathjax]-algebra, tím, že splňuje všechny 3 vlastnosti z definice. Poté bych ukázal, že [mathjax]\beta[/mathjax] patří do [mathjax]\{...\}[/mathjax]. Nicméně nyní k těm 3 vlastnostem:

(i) zřejmě [mathjax]\emptyset , X \in \beta[/mathjax] z definice toho, že máme sigmu algebru na prostoru [mathjax]X[/mathjax]

(ii) teď bych tedy měl ukázat, že [mathjax] \{(C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}), C_1, C_2 \in \beta\}[/mathjax] je [mathjax]\sigma[/mathjax] patří do [mathjax]\in \beta[/mathjax] a je uzavřená na komplement?

Předpokládám, že to bude nějaká práce s množinovými operacemi
[mathjax] (C_1 \cap Y) \cup (C_2 \cap \mathrm{Y}^{c}) = (C_1^c \cup Y^c)^c \cup (C_2^c \cup Y)^c[/mathjax] ale moc nevím, čím bych si dál mohl pomoci.

(iii) Nevím, jak bych dokázal tu třetí vlastnost, mohli byste mi prosím pomoct?

Díky!