#1 21. 10. 2023 09:58
- pepik13335
- Zelenáč
- Příspěvky: 5
- Škola: IES FSV UK
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Konvergence Newtonova integrálu
Ahoj, potřeboval bych poradit s konvergencí tohoto integrálu s paramterem:
Integrate[Divide[Exp[-aSquare[x]]-Exp[-bSquare[x]],x],{x,0,∞}]
https://www.wolframalpha.com/input?i2d= … 8%9E%7D%5D
Zatím jsem zjistil, že v 0 je limita 0, takže stačí vyšetřit konvergenci v nekonečnu. To, ale nevím jak.
Dekuji za rady.
Offline
#2 21. 10. 2023 11:54
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:,
ja to skúsim načrtnúť:
[mathjax]\int_{0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-bx^{2}}}{x}dx =[/mathjax]
[mathjax]\lim_{x\to\infty } \frac{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-bx^{2}}}{x} - \lim_{x\to 0 } \frac{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-bx^{2}}}{x} [/mathjax] a teraz už len teba spočítať tie limity.
[mathjax]\lim_{x\to\infty } \frac{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-bx^{2}}}{x} = \lim_{x\to\infty } \frac{1}{\mathrm{e}^{ax^{2}}*x}- \frac{1}{\mathrm{e}^{bx^{2}}*x}[/mathjax] a ďalej
[mathjax]\lim_{x\to\infty } \frac{1}{\mathrm{e}^{ax^{2}}*x}- \frac{1}{\mathrm{e}^{bx^{2}}*x} = \frac{1}{\infty } - \frac{1}{\infty } = 0 - 0 = 0[/mathjax].
Offline
#3 21. 10. 2023 12:01
- pepik13335
- Zelenáč
- Příspěvky: 5
- Škola: IES FSV UK
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ fmfiain: děkuji ja potřebuji zjistit pro jaké parametry a,b integrál konverguje
Offline
#4 21. 10. 2023 12:30
- pepik13335
- Zelenáč
- Příspěvky: 5
- Škola: IES FSV UK
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ fmfiain: toto platí pouze pro a,b >0
Offline
#5 21. 10. 2023 12:36
Re: Konvergence Newtonova integrálu
dobrý deň ↑ pepik13335:,
to bolo iba časť riešenia. Pre limity od [mathjax]-\infty [/mathjax] po 0, to treba vymyslieť zvlášť.
Offline
#6 21. 10. 2023 12:48 — Editoval fmfiain (21. 10. 2023 12:55) Příspěvek uživatele fmfiain byl skryt uživatelem fmfiain. Důvod: Myslím, že to bola hlúposť
#7 21. 10. 2023 12:58
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:,
kalkulátor limity mi ukazuje, že všade integrál konverguje (teda aspoň jeho limita).
Takže to stačí iba vymyslieť.
Offline
#8 21. 10. 2023 13:06 — Editoval fmfiain (21. 10. 2023 13:09)
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:, tu už iba pomôže definícia limít:
Vypíšem ti limity od najväčšej po najmenšiu:
[mathjax]x![/mathjax] - faktoriál
[mathjax]a^{x}[/mathjax] - exponenciálna funkcia
[mathjax]x^{a}[/mathjax] - polynóm
[mathjax]x[/mathjax] - lineárna funkcia
[mathjax]\log_{}x[/mathjax] - logaritmus
Offline
#9 21. 10. 2023 13:23
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:,
ďalej:
[mathjax]\lim_{x\to 0 } \frac{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-bx^{2}}}{x} = \lim_{x\to 0 } \mathrm{e}^{x^{2}} \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{x} [/mathjax], ďalej
[mathjax]\lim_{x\to 0 } \mathrm{e}^{x^{2}} \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{x} = \lim_{x\to 0 } \mathrm{e}^{x^{2}} * \lim_{x\to 0 } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{x}[/mathjax], ďalej
[mathjax]\lim_{x\to 0 } \mathrm{e}^{x^{2}} * \lim_{x\to 0 } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{x} = 1 * \infty = \infty [/mathjax] a ešte
[mathjax]\lim_{x\to -\infty } \mathrm{e}^{x^{2}} * \lim_{x\to -\infty } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{x} = \lim_{x\to \infty } \mathrm{e}^{-x^{2}} * \lim_{x\to \infty } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{-x} = [/mathjax] a ďalej
[mathjax] \lim_{x\to \infty } \mathrm{e}^{-x^{2}} * \lim_{x\to \infty } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{-x} = \lim_{x\to \infty } \frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}}} * \lim_{x\to \infty } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{-x} = [/mathjax] a ďalej
[mathjax]\lim_{x\to \infty } \frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}}} * \lim_{x\to \infty } \frac{\mathrm{e}^{-a}-\mathrm{e}^{-b}}{-x} = 0*0 = 0[/mathjax]
Offline
#10 21. 10. 2023 13:29
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:,
funkcie sa obvykle zisťujú v bodoch [mathjax]\infty ,-\infty ,0[/mathjax].
V tomto prípade je intergrál konverguje v [mathjax](-\infty, 0 )[/mathjax] a v [mathjax](0, \infty )[/mathjax], ak uvažujete iba reálne čísla. Ak uvažujete rozšírený reálny priesotor, tak to je: [mathjax]<-\infty, 0 )[/mathjax] a v [mathjax](0, \infty >[/mathjax]
Offline
#11 21. 10. 2023 14:24
- pepik13335
- Zelenáč
- Příspěvky: 5
- Škola: IES FSV UK
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Re: Konvergence Newtonova integrálu
[mathjax]\lim_{x\to\infty } \frac{1}{\mathrm{e}^{ax^{2}}*x}- \frac{1}{\mathrm{e}^{bx^{2}}*x} = \frac{1}{\infty } - \frac{1}{\infty } = 0 - 0 = 0[/mathjax]↑ fmfiain:zde ale je limita x jde do nekonecna rovna nula pouze pro parametry a,b>0. Pro a,b<0 integrál nekonverguje
Offline
#12 21. 10. 2023 18:11
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ pepik13335:
Tento integrál lze vypočítat pomocí derivace podle parametru (viz též www.tucekweb.info)
podmínky: a,b>0
v U(0) můžeme udělat rozvoj:
exp(-ax^2)=1 - a*x^2 + (a^2 * x^4)/2- ....
Offline
#13 21. 10. 2023 19:51 — Editoval fmfiain (21. 10. 2023 19:56)
Re: Konvergence Newtonova integrálu
Dobrý deň ↑ pepik13335:,
v príspevku #9 som to počítal aj pre [mathjax]\lim_{x\to0} =\infty, \lim_{x\to-\infty }=0[/mathjax]
Len sa na to pozri.
Offline
#14 21. 10. 2023 21:17
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ pepik13335:
Ahoj, pokud dokážeš odůvodnit, že lze použít Fubiniho věta, tak lze integrál přepsat na
[mathjax]\int_{0}^{\infty }[\frac{e^{-yx^2}}{x}]_{b}^{a} dx=\int_{0}^{\infty }\int_{b}^{a} -x\cdot e^{-yx^2}dydx[/mathjax]
pomocí Fubínky přehodit integrály a zkoumat konvergenci vnitřního integrálu.
Offline
#15 21. 10. 2023 21:28
- pepik13335
- Zelenáč
- Příspěvky: 5
- Škola: IES FSV UK
- Pozice: Student
- Reputace: 0
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ Richard Tuček: u O jsem myslel, že je limita konecna tudíž funkce spojitá a nemusi se tam yvsetrovat konvergence, u 00 bych chtěl použít limitní srovnavací kriterium
Offline
#16 23. 10. 2023 12:08
Re: Konvergence Newtonova integrálu
tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.
Offline
#17 23. 10. 2023 12:14 — Editoval krakonoš (23. 10. 2023 18:29)
Re: Konvergence Newtonova integrálu
↑ krakonoš:
Integrál jsem si rozdělila na intervaly (0,1) a (1, nekonečno) se
Pro a,b> 0 není problém na intervalu (1, nekonečno) vzhledem k známému Gaussovu integrálu.
Po substituci y=1/x dostaneme na intervalu (0,1) integrál na intervalu (1, nekonečno) úplně stejného zadání jako je ten originální, ovšem zde bude a b<0. Rozdíl dvou exponenciel je ovšem příliš velký pro kladný argument, to podělení x už to nespasí.
Takže tu konvergenci vidím zatím jen pro a=b.
Ještě by se muselo zdůvodnit, že Lebesgueův integrál a Newtonův jsou si rovny ( nezápornost, Borelovská měřitelnost...)
tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.
Offline