Matematické Fórum

↑ fmfiain: děkuji ja potřebuji zjistit pro jaké parametry a,b integrál konverguje

dobrý deň ↑ pepik13335:,
to bolo iba časť riešenia. Pre limity od $-\mathrm{\infty }$ po 0, to treba vymyslieť zvlášť.

Dobrý deň ↑ pepik13335:,
kalkulátor limity mi ukazuje, že všade integrál konverguje (teda aspoň jeho limita).
Takže to stačí iba vymyslieť.

Dobrý deň ↑ pepik13335:,
ďalej:
$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a{x}^2}-{\mathrm{e}}^{-b{x}^2}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{x}$, ďalej
$\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{x^2}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{x^2}\ast \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{x}$, ďalej
$\underset{x\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{x^2}\ast \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{x}=1\ast \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$ a ešte
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{x^2}\ast \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{-x^2}\ast \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{-x}=$ a ďalej
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^{-x^2}\ast \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{x^2}}\ast \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{-x}=$ a ďalej
$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{x^2}}\ast \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{-a}-{\mathrm{e}}^{-b}}{-x}=0\ast 0=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{a{x}^2}\ast x}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^{b{x}^2}\ast x}=\frac{1}{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0-0=0$↑ fmfiain:zde ale je limita x jde do nekonecna rovna nula pouze pro parametry a,b>0. Pro a,b<0 integrál nekonverguje

Dobrý deň ↑ pepik13335:,
v príspevku #9 som to počítal aj pre $\underset{x\to 0}{lim}=\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}=0$
Len sa na to pozri.

↑ Richard Tuček: u O jsem myslel, že je limita konecna tudíž funkce spojitá a nemusi se tam yvsetrovat konvergence, u 00 bych chtěl použít limitní srovnavací kriterium

↑ krakonoš:
Integrál jsem si rozdělila na intervaly (0,1) a (1, nekonečno) se
Pro a,b> 0 není problém na intervalu (1, nekonečno) vzhledem k známému  Gaussovu integrálu.
Po substituci y=1/x dostaneme na intervalu (0,1) integrál na intervalu (1, nekonečno) úplně stejného zadání jako je ten originální, ovšem zde bude a b<0. Rozdíl dvou exponenciel je ovšem příliš velký pro kladný argument, to podělení x už to nespasí.
Takže tu konvergenci vidím zatím jen pro a=b.
Ještě by se muselo zdůvodnit, že Lebesgueův integrál a Newtonův jsou si rovny  ( nezápornost, Borelovská měřitelnost...)