Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 02. 2024 13:10

bobik105
Zelenáč
Příspěvky: 18
Reputace:   
 

Obor konvergence řady - krajní body

Ahoj, mám následující zadání:
Určete obor konvergence řady [mathjax]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(x-2\right)^n\cdot 2^{\left(1-n\right)}\cdot n^{-1}\right)[/mathjax].

Můj postup
Aplikoval jsem Cauchyho limitní odmocninové kritérium:
[mathjax]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{(x-2)^n2^{(1-n)}n^{-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty}(x-2)2^{(\frac{1}{n}-1)}n^{-\frac{1}{n}}=(x-2)2^{-1}n^0 = \frac{1}{2}x-1[/mathjax].
Po výpočtu [mathjax]\frac{1}{2}x-1=0[/mathjax] střed vyšel [mathjax]S=2[/mathjax] a vyřešená nerovnice [mathjax]|\frac{1}{2}x-1|<1[/mathjax] vyšla [mathjax]x\in (0,4)[/mathjax].
Problém mám s tím, jak zjistit, jestli ty krajní body patří/nepatří do intervalu, protože ve výsledcích je obor [mathjax]x\in [0,4)[/mathjax]. Našel jsem, že se musí ty krajní body musí dosadit do řady a znovu zjistit, jak se v nich řada chová. Ale jak poznat, které kritérium posléze zvolit? Neexistuje nějaká jednodušší cesta, jak zjistit, zda tam body patří?

Děkuji za odpovědi.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) bobik105)

#2 25. 02. 2024 13:17

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6217
Škola:
Reputace:   143 
 

Re: Obor konvergence řady - krajní body

↑ bobik105: Sotva nájdeš niečo jednoduchšie, ako dosadiť krajné body. V tomto prípade je na prvý pohľad vidieť, že v bode 0 rad konverguje (Leibnizovo kritérium) a v bode 4 nie (harmonický rad).

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson