Matematické Fórum

Ahoj,
dá se číslo 6 napsat jako rozdíl dvou mocnin? Trochu přesněji řečeno:

Jestliže $x,y,a,b$ jsou přirozená čísla, $x,y,a,b>1$, je pravda, že rovnice
$x^a-y^b=c$
má řešení pro všechna $c\in \mathbb{N}$?

Je jasné, že rovnice má řešení pro lichá $c$ :
$3^2-2^3=1;2^7-5^3=3;(n+1{)}^2-n^2=2n+1$

taky pro násobky 4 :
$2^3-2^2=4;2^4-2^3=8;(n+1{)}^2-(n-1{)}^2=4n$

Pro ostatní případy$(c=4n-2)$ mi vyšly podmínky řešení:
$x=4k-1;a=2l+1;y=2m+1$, kde $k,l,m$ jsou přirozená čísla

a rovnice přejde do tvaru
$|(4k-1{)}^{2l+1}-(4m+1{)}^b|=c$
což sice dává nekonečně mnoho $c$, ale ne záruku, že řešení najdu pro každé $c=4n-2$.

V odkazu https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%2 … rnal_links je formulovaná domněnka, že tato rovnice má konečný (ne nutně nenulový) počet řešení pro všechna $c\in \mathbb{N}$
Taky je tam pěkná tabulka s výsledky pro $c\le 64$ a  mocniny do ${10}^{18}$.
(pro číslo 6 žádný výsledek nenašli).  Je někde dokázané, pro která $c$ rovnice neplatí?