Matematické Fórum

Ahoj,
dá se číslo 6 napsat jako rozdíl dvou mocnin? Trochu přesněji řečeno:

Jestliže [mathjax]x,y,a,b[/mathjax] jsou přirozená čísla, [mathjax]x,y,a,b > 1[/mathjax], je pravda, že rovnice
[mathjax]\huge x^{a}-y^{b}=c[/mathjax]
má řešení pro všechna [mathjax]c\in \mathbb{N}[/mathjax]?

Je jasné, že rovnice má řešení pro lichá [mathjax]c[/mathjax] :
[mathjax]3^{2}-2^{3}=1; 2^{7}-5^{3}=3; (n+1)^{2}-n^{2}=2n+1[/mathjax]

taky pro násobky 4 :
[mathjax]2^{3}-2^{2}=4; 2^{4}-2^{3}=8; (n+1)^{2}-(n-1)^{2}=4n[/mathjax]

Pro ostatní případy[mathjax] (c=4n-2)[/mathjax] mi vyšly podmínky řešení:
[mathjax]x=4k-1;\text{  }a=2l+1;\text{   }y=2m+1[/mathjax], kde [mathjax]k,l,m[/mathjax] jsou přirozená čísla

a rovnice přejde do tvaru
[mathjax]|(4k-1)^{2l+1}-(4m+1)^{b}|=c[/mathjax]
což sice dává nekonečně mnoho [mathjax]c[/mathjax], ale ne záruku, že řešení najdu pro každé [mathjax] c=4n-2[/mathjax].

V odkazu https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%2 … rnal_links je formulovaná domněnka, že tato rovnice má konečný (ne nutně nenulový) počet řešení pro všechna [mathjax]c\in \mathbb{N}[/mathjax]
Taky je tam pěkná tabulka s výsledky pro [mathjax]c\le 64[/mathjax] a  mocniny do [mathjax]10^{18}[/mathjax].
(pro číslo 6 žádný výsledek nenašli).  Je někde dokázané, pro která [mathjax]c[/mathjax] rovnice neplatí?