Matematické Fórum

↑ FRhapsody:

Ahoj,

přímka rovnoběžná s osou paraboly není tečna, ale sečna. I ona totiž protíná parabolu ve dvou bodech. Jediný rozdíl oproti "běžné" sečně je ten, že jeden z těch bodů je nevlastní. Ten si (s některými výhradami) lze představit jako bod v nekonečnu. K přesnějšímu vysvětlení je potřeba alespoň něco málo vědět o projektivním prostoru, který nepatří do běžného středoškolského učiva. Například rovnoběžky se v euklidovském prostoru neprotínají. V projektivním prostoru se protínají, ten průsečík je nevlastní.

FRhapsody napsal(a):

Tentokrát ale pokud diskriminant vyjde roven nule, může nastat buď situace, kdy je přímka různoběžná s osou paraboly a jedná se o obyčejnou tečnu, nebo může být rovnoběžná s osou paraboly a v tomto případě se podle některých výkladů opět jedná o sečnu.

Problém je spíš tohle. U přímky rovnoběžné s osou paraboly prostě žádný diskriminant nevyjde.

↑ MichalAld:

Nevím, jestli sis nespletl adresáta. Já jsem nikde o nějakém diskriminantu neřekl ani slovo. A za druhé - složitost a jednoduchost je velmi relativní pojem. Projektivní prostor je velmi jednoduchý a elegantní nástroj. Tedy pro toho, kdo ví o co jde. Pro toho, kdo neví o co jde, jsou složitá i přirozená čísla. 

>> Mohou existovat i přímky, které mají s parabolou jen jeden průsečík.

Ptám se:

Kolik průsečíků s parabolou má její tečna?
A co je to vůbec "průsečík"?

To, co vykládáš, je jednoduché možná pro tebe. V matematice si tím ale děláš akorát guláš.

>> Detaily kolem diskriminantu se týkají čistě jen paraboly.

Špatně. Úvahy o diskriminantu mají smysl pro každou kuželkosečku.

>> U přímky rovnoběžné s osou paraboly prostě žádný diskriminant nevyjde.

Špatně. Existence nějakého diskriminantu určitě nezávisí na vzájemné poloze přímky a kuželkosečky.

↑ check_drummer:
Nejen tečna, ale i sečna. Já třeba myslím, že lze definovat něco jako dotyk prvního řádu - kdy mají křivky spolecňý bod i derivaci, což by mohla být definice tečny. Existují ale i dotyky vyšších řádů, a tam už bychom museli sami určit, za co to vlastně považujeme.

Ještě jsem nad tím chvíli špekuloval, a dospěl jsem k následujícímu:

Když vezmeme obecnou rovnici kuželosečky zarovnané s osami, tedy

[mathjax]ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0[/mathjax]

nebo i úplně obecnou rovnici

[mathjax]ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0[/mathjax]

a k tomu obecnou rovnici přímky, tedy

[mathjax]ax + by + c = 0[/mathjax]

a hledáme "společné body", ať už jsou to půsečíky, nebo body dotyku, nebo cokoliv jiného, tak - no, obecnou rovnici přímky můžeme vždycky převést na tvar typu

[mathjax]y=px+q[/mathjax] případně typu [mathjax]x=py+q[/mathjax]
(existují případy, kdy nelze použít oba dva tyhle tvary a musíme si vybrat jen ten, který použít lze).

Pak můžeme tuhle rovnici dosadit do rovnice kuželosečky. A zpravidla dostaneme kvadratickou rovnici, buď v proměnné x, nebo y. Ta má vždycky dva kořeny, a to buď dva různé reálné kořeny - které odpovídají dvěma společným bodům (průsčečíkům), nebo ty dva reálné kořeny jsou stejné - v tom případě jde o jeden společný bod, a určitě lze dokázat, že tam dochází k dotyku prvního řádu, tedy jde o tu tečnu, nebo jsou kořeny komplexně sdružené, tedy reálné křivky nemají společný bod.

Mohou ale nastat i situace, kdy po dosazení kvadratickou rovnici nedostaneme. Prvním případem, který vlastně byl motivací k založení tohoto vlákna, je parabola, třeba ve tvaru

[mathjax]y = ax^2 + bx + c[/mathjax]

a přímka

[mathjax]x = q[/mathjax]

Po dosazení dostáváme lineární rovnici y = const, což tedy znamená jeden společný bod (jestli v něm dochází k dotyku nultého nebo prvního řádu na první pohled nepoznáme, nicméně každý ví, jak to je).


Ale existují i další případy. Třeba u hyperboly tvaru

[mathjax]x^2 - y^2 = 1[/mathjax]

a přímky

[mathjax]y = x + 5[/mathjax]

dostaneme po dosazení

[mathjax]x^2 - (x+5)^2 = 1[/mathjax]
[mathjax]x^2 - x^2 - 10x - 25 = 1[/mathjax]
[mathjax] - 10x - 25 = 1[/mathjax]

Dál to počítat nemusím, je to lineární rovnice, má jedno řešení. Je to přímka rovnoběžná s osou hyperboly. Taky má jeden společný bod.

Pokud vezmu přímku [mathjax]y=x[/mathjax], dostanu po dosazení rovnici [mathjax]x^2 - x^2 = 1[/mathjax], tedy [mathjax]0 = 1[/mathjax], a ta nemá řešení vůbec. Je to přímka odpovídající ose hyperboly. Tedy asymptota. A dostáváme takovýto zvláštní výsledek. Žádnou kvadratickou rovnici s komplexními kořeny, prostě jen rovnici 0=1.

To samé u hyperboly typu [mathjax]xy=1[/mathjax] a přímky typu [mathjax]x=0[/mathjax].

Víc takovýchto případů se mi vymyslet nepodařilo, nejspíš už další nejsou. U kružnice či elipsy je celkem jasné, že tam žádné extravagantnosti nebudou. Ale můžeme vymyslet ještě trochu exotické případy těch kuželoseček. Třeba [mathjax]x^2 + y^2 = 0[/mathjax], což je taková kružnice o nulovém poloměru, a přímka [mathjax]y=kx[/mathjax]. Po dosazení obdržíme dvojnásobný kořen x=0. Ale těžko budeme rozhodovat, zdali jde o styk nultého nebo prvního řádu, tedy jde li o sečnu nebo tečnu. Ale uznávám, že kružnice s nulovým poloměrem není příliš užitečná věc.

Naproti tomu hyperbola s "nulovým poloměrem" je celkem častá věc, minimálně ve fyzice - v teorii relativity. Tedy [mathjax]y^2 - x^2 = 0[/mathjax]. Nebo ještě lépe, [mathjax]x^2 - t^2 = 0[/mathjax], aby bylo vidět, o čem mluvím.

Je to vlastně hyperbola, která odpovídá těm svým osám. V teorii relativity to představuje pohyb rychlostí světla, tedy něco dost běžného. A pokud budeme hledat společný bod téhle kuželosečky s přímkou [mathjax]y = x[/mathjax] [mathjax](x = t)[/mathjax], dostaneme rovnici 0=0. Taky není úplně snadné říct co to představuje. Rovnice je splněna vždy, ale jen pro body té přímky y = x. Není splněna pro všechny body naší "hyperboly" - polovina z nich leží ještě na přímce y = -x.

Sečteno, podtrženo, hyperbola je rozhodně nejzajímavější z kuželoseček, zatímco kružnice tou nejnudnější. Nebýt toho, že je kulatá, nejspíš by po ní neštěkl pes.