Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 03. 2024 16:03

FRhapsody
Příspěvky: 55
Pozice: Student
Reputace:   
 

Vzájemná poloha přímky a paraboly

Zdravím,

mám jisté nejasnosti ohledně terminologie v rámci vzájemné polohy v analytické geometrii. Specificky u paraboly je zde jeden speciální případ. Vím, že pokud je po dosazení příslušné proměnné v rámci rovnice přímky do rovnice paraboly diskriminant větší než 0, jedná se o sečnu. Naopak pokud je diskriminant menší než 0, jedná se o vnější přímku. Tentokrát ale pokud diskriminant vyjde roven nule, může nastat buď situace, kdy je přímka různoběžná s osou paraboly a jedná se o obyčejnou tečnu, nebo může být rovnoběžná s osou paraboly a v tomto případě se podle některých výkladů opět jedná o sečnu. Chtěl bych se tedy zeptat, zdali je tato terminologie správná? Případně neexistuje nějaký jiný termín, jakým přesněji označit "tečnu" rovnoběžnou s osou paraboly?

V rámci některých výsledků také vidím, že se situace tečny je také označena, že přímka je nesečnou. Jakého značení bych tedy měl užít?


Předem děkuji.


Lidé, kteří si osvojili principy matematiky, mají o jeden smysl víc než obyčejní smrtelníci. (Darwin)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) FRhapsody)

#2 14. 03. 2024 16:19 — Editoval Eratosthenes (14. 03. 2024 16:23)

Eratosthenes
Příspěvky: 2610
Reputace:   132 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

↑ FRhapsody:

Ahoj,

přímka rovnoběžná s osou paraboly není tečna, ale sečna. I ona totiž protíná parabolu ve dvou bodech. Jediný rozdíl oproti "běžné" sečně je ten, že jeden z těch bodů je nevlastní. Ten si (s některými výhradami) lze představit jako bod v nekonečnu. K přesnějšímu vysvětlení je potřeba alespoň něco málo vědět o projektivním prostoru, který nepatří do běžného středoškolského učiva. Například rovnoběžky se v euklidovském prostoru neprotínají. V projektivním prostoru se protínají, ten průsečík je nevlastní.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 14. 03. 2024 16:36

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4911
Reputace:   125 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

↑ Eratosthenes:
Myslím, že lze žít i bez takovýchto složitostí. Tečna je obecný pojem, týkající se přímky a libovolné spojité křivky. Sečna nakonec taky. Detaily kolem toho, kolik může mít přímka průsečíků s nějakou křivkou jsou mnohem nižší úrovně. Detaily kolem diskriminantu se týkají čistě jen paraboly, či kvadratické funkce.

Takže tvrdit, že nějaká přímka je tečnou jen proto, že to tak vypadá podle pravidla o determinantu je nesmysl.

A navíc - když uvažujeme třeba takovou tu normální parabolu, [mathjax]y=ax^2 + bx + c[/mathjax] tak přímka rovnoběžná s její osou má tvar [mathjax]x=k[/mathjax], takže tam stejně nic ohledně diskriminantů neřešíme.

Takže nejjednodušš řešení celého problému je prostě předpokládat, že mohou existovat i přímky, které mají s parabolou jen jeden průsečík. Podobně jako u diferenciálních rovnic existují singulární řešení.

Offline

 

#4 14. 03. 2024 16:39

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4911
Reputace:   125 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

FRhapsody napsal(a):

Tentokrát ale pokud diskriminant vyjde roven nule, může nastat buď situace, kdy je přímka různoběžná s osou paraboly a jedná se o obyčejnou tečnu, nebo může být rovnoběžná s osou paraboly a v tomto případě se podle některých výkladů opět jedná o sečnu.

Problém je spíš tohle. U přímky rovnoběžné s osou paraboly prostě žádný diskriminant nevyjde.

Offline

 

#5 14. 03. 2024 17:23

FRhapsody
Příspěvky: 55
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

↑ MichalAld: Protože jediná přímka rovnoběžná s osou musí reprezentovat buď konstantní hodnotu x či y a po jejím dosazení do rovnice paraboly obdržím pouhou lineární rovnici? Lze toto brát jako pravidlo pro určení, že se jedná o tu variantu sečny, která má pouze jeden známý společný bod?


Lidé, kteří si osvojili principy matematiky, mají o jeden smysl víc než obyčejní smrtelníci. (Darwin)

Offline

 

#6 14. 03. 2024 17:34 — Editoval Eratosthenes (14. 03. 2024 17:37)

Eratosthenes
Příspěvky: 2610
Reputace:   132 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

↑ MichalAld:

Nevím, jestli sis nespletl adresáta. Já jsem nikde o nějakém diskriminantu neřekl ani slovo. A za druhé - složitost a jednoduchost je velmi relativní pojem. Projektivní prostor je velmi jednoduchý a elegantní nástroj. Tedy pro toho, kdo ví o co jde. Pro toho, kdo neví o co jde, jsou složitá i přirozená čísla. 

>> Mohou existovat i přímky, které mají s parabolou jen jeden průsečík.

Ptám se:

Kolik průsečíků s parabolou má její tečna?
A co je to vůbec "průsečík"?

To, co vykládáš, je jednoduché možná pro tebe. V matematice si tím ale děláš akorát guláš.

>> Detaily kolem diskriminantu se týkají čistě jen paraboly.

Špatně. Úvahy o diskriminantu mají smysl pro každou kuželkosečku.

>> U přímky rovnoběžné s osou paraboly prostě žádný diskriminant nevyjde.

Špatně. Existence nějakého diskriminantu určitě nezávisí na vzájemné poloze přímky a kuželkosečky.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#7 15. 03. 2024 22:43

check_drummer
Příspěvky: 4661
Reputace:   102 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

Možná špatně koukám, ale nevidím tady nikde definici toho co je to tečna, abychom si ujasnili pojmy.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#8 16. 03. 2024 15:55

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4911
Reputace:   125 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

↑ check_drummer:
Nejen tečna, ale i sečna. Já třeba myslím, že lze definovat něco jako dotyk prvního řádu - kdy mají křivky spolecňý bod i derivaci, což by mohla být definice tečny. Existují ale i dotyky vyšších řádů, a tam už bychom museli sami určit, za co to vlastně považujeme.

Offline

 

#9 16. 03. 2024 16:02

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4911
Reputace:   125 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

Každopádně, pokud hledáme řešení soustavy rovnic, kdy jedna je rovnice kuželosečky a druhá přímky, dostaneme po dosazení zpravidla kvadratickou rovnici. A tam má pak význam to tvrzení, že dvojnásobný kořen představuje dotyk.
Ale za jistých podmínek můžeme po dosazení dostat i lineární rovnici, nejen u paraboly ale i u hyperboly. A můžeme také dostat rovnici co nemá řešení vůbec, tj rovnici typu 0=1. A tady určitě nemá smysl mluvit o kořenech kvadratické rovnice ani o diskriminantu.

Offline

 

#10 17. 03. 2024 21:33

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4911
Reputace:   125 
 

Re: Vzájemná poloha přímky a paraboly

Ještě jsem nad tím chvíli špekuloval, a dospěl jsem k následujícímu:

Když vezmeme obecnou rovnici kuželosečky zarovnané s osami, tedy

[mathjax]ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0[/mathjax]

nebo i úplně obecnou rovnici

[mathjax]ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0[/mathjax]

a k tomu obecnou rovnici přímky, tedy

[mathjax]ax + by + c = 0[/mathjax]

a hledáme "společné body", ať už jsou to půsečíky, nebo body dotyku, nebo cokoliv jiného, tak - no, obecnou rovnici přímky můžeme vždycky převést na tvar typu

[mathjax]y=px+q[/mathjax] případně typu [mathjax]x=py+q[/mathjax]
(existují případy, kdy nelze použít oba dva tyhle tvary a musíme si vybrat jen ten, který použít lze).

Pak můžeme tuhle rovnici dosadit do rovnice kuželosečky. A zpravidla dostaneme kvadratickou rovnici, buď v proměnné x, nebo y. Ta má vždycky dva kořeny, a to buď dva různé reálné kořeny - které odpovídají dvěma společným bodům (průsčečíkům), nebo ty dva reálné kořeny jsou stejné - v tom případě jde o jeden společný bod, a určitě lze dokázat, že tam dochází k dotyku prvního řádu, tedy jde o tu tečnu, nebo jsou kořeny komplexně sdružené, tedy reálné křivky nemají společný bod.

Mohou ale nastat i situace, kdy po dosazení kvadratickou rovnici nedostaneme. Prvním případem, který vlastně byl motivací k založení tohoto vlákna, je parabola, třeba ve tvaru

[mathjax]y = ax^2 + bx + c[/mathjax]

a přímka

[mathjax]x = q[/mathjax]

Po dosazení dostáváme lineární rovnici y = const, což tedy znamená jeden společný bod (jestli v něm dochází k dotyku nultého nebo prvního řádu na první pohled nepoznáme, nicméně každý ví, jak to je).


Ale existují i další případy. Třeba u hyperboly tvaru

[mathjax]x^2 - y^2 = 1[/mathjax]

a přímky

[mathjax]y = x + 5[/mathjax]

dostaneme po dosazení

[mathjax]x^2 - (x+5)^2 = 1[/mathjax]
[mathjax]x^2 - x^2 - 10x - 25 = 1[/mathjax]
[mathjax] - 10x - 25 = 1[/mathjax]

Dál to počítat nemusím, je to lineární rovnice, má jedno řešení. Je to přímka rovnoběžná s osou hyperboly. Taky má jeden společný bod.

Pokud vezmu přímku [mathjax]y=x[/mathjax], dostanu po dosazení rovnici [mathjax]x^2 - x^2 = 1[/mathjax], tedy [mathjax]0 = 1[/mathjax], a ta nemá řešení vůbec. Je to přímka odpovídající ose hyperboly. Tedy asymptota. A dostáváme takovýto zvláštní výsledek. Žádnou kvadratickou rovnici s komplexními kořeny, prostě jen rovnici 0=1.

To samé u hyperboly typu [mathjax]xy=1[/mathjax] a přímky typu [mathjax]x=0[/mathjax].

Víc takovýchto případů se mi vymyslet nepodařilo, nejspíš už další nejsou. U kružnice či elipsy je celkem jasné, že tam žádné extravagantnosti nebudou. Ale můžeme vymyslet ještě trochu exotické případy těch kuželoseček. Třeba [mathjax]x^2 + y^2 = 0[/mathjax], což je taková kružnice o nulovém poloměru, a přímka [mathjax]y=kx[/mathjax]. Po dosazení obdržíme dvojnásobný kořen x=0. Ale těžko budeme rozhodovat, zdali jde o styk nultého nebo prvního řádu, tedy jde li o sečnu nebo tečnu. Ale uznávám, že kružnice s nulovým poloměrem není příliš užitečná věc.

Naproti tomu hyperbola s "nulovým poloměrem" je celkem častá věc, minimálně ve fyzice - v teorii relativity. Tedy [mathjax]y^2 - x^2 = 0[/mathjax]. Nebo ještě lépe, [mathjax]x^2 - t^2 = 0[/mathjax], aby bylo vidět, o čem mluvím.

Je to vlastně hyperbola, která odpovídá těm svým osám. V teorii relativity to představuje pohyb rychlostí světla, tedy něco dost běžného. A pokud budeme hledat společný bod téhle kuželosečky s přímkou [mathjax]y = x[/mathjax] [mathjax](x = t)[/mathjax], dostaneme rovnici 0=0. Taky není úplně snadné říct co to představuje. Rovnice je splněna vždy, ale jen pro body té přímky y = x. Není splněna pro všechny body naší "hyperboly" - polovina z nich leží ještě na přímce y = -x.

Sečteno, podtrženo, hyperbola je rozhodně nejzajímavější z kuželoseček, zatímco kružnice tou nejnudnější. Nebýt toho, že je kulatá, nejspíš by po ní neštěkl pes.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson