Matematické Fórum

↑ navic:  ↑ misaH:

Kolega chtěl možná napsat, že hledá sečnu paraboly [mathjax](y-2)^2=16(x+1)[/mathjax] jdoucí bodem B(-7;0) rovnoběžně s osou paraboly a ptá se, zda je to přímka y=0.

Pokud jsem si to správně přeložil, pak tedy ano, je to tak.

:-)

Diskusi o tom, jestli je zmíněná přímka tečnou nebo není můžete pokračovat tady:
Odkaz

↑ Eratosthenes:
Asymptota je vnější přímka nebo tečna?

↑ MichalAld:


Je mi líto , že to musím takto napsat, ale píšeš nesmysly. Nemáš ponětí o tom, co je matematika a neustále se montuješ. do něčeho, čemu vůbec nerozumíš.

Teď nemám čas na podrobnější odpověď, vrátím sš k tomu večer.

↑ MichalAld:

Takže ještě jednou:

Definice: Přímka je tečnou kuželosečky právě tehdy, když s ní má právě jeden společný bod a všechny její ostatní body jsou vnější.

>> Podle mě je to nesmysl, takováhle definice. Tečna je přímka, která se křivky "dotýká". Každý intuitivně chápe, co to znamená.

Takže podle tebe máme v matematice zrušit definice, věty a důkazy a zavést intuici. Každý přece intuitivně chápe, že uvnitř čtverce je víc bodů, než na jeho obvodu. Každý intuitivně chápe, že na delší úsečce je víc bodů než na úsečce kratší. Mezi každými dvěma racionálními čísly je číslo iracionální a naopak, mezi každými dvěma iracionálními je číslo racionální. Takže každý intuitivně chápe, že se racionální a iracionální číslana číselné ose pravidelně střídají jako černé a bílé korálky a že racionálních čísel je úplně stejně jako čísel iracionálních.

Vážený kolego, vygoogluj si to. Vygoogluj si, zda jsou nesmysly to, co "každý intuitivně chápe", anebo to, je matematicky definováno, formulováno a dokazováno. Když už nevěříš mně, strýčkovi Googlovi snad věřit budeš.

>> Ale dělat definici tečny, která platí jen pro kuželosečky, je podle mě blbost. To pak není definice tečny, ale kuželosečkotečny. A musíme zase dokazovat, že to odpovídá normální tečně, čím se dostaneme zase na začátek.

Takže definice "Tečna kružnice je přímka kolmá k průměru..." je blbost. Není to totiž tečna, ale jen jakási kružnicotečna.

"Tečna grafu funkce v bodě je přímka, která prochází daným bodem a má směrnici rovnu derivaci funkce v tomto bodě" je blbost. Není to tečna, ale jenom nějaká grafofunkcotečna.

Definovat tečnu dřív, než se s ní setkají studenti VŠ v diferenciální geometrii je blbost. Až tam totiž lze definovat "normální" tečnu a pak by se muselo pracně dokazovat, že kružnicotečna, kuželosečkotečna a grafofunkcotečna jsou opravdu normální tečny, čímž bychom se vrátili opět na začátek.

Prostě - po celou ZŠ a SŠ budeme říkat: klučino (děvče) - kašli na nějaké průměry a kolmice, přece intuitivně chápeš, co to znamená "dotýkat se" - takže ke kružnici prostě přilož pravítko...

Definice (šestá obecná): Mechanická práce stálé síly po přímé dráze stejného směru je  součin...

Další blbost. To je jenom nějaká stálopřímkopráce. Práce je přece křivkový integrál ze skalárního součinu... Až se šesták (šesťačka) dostane na techniku, bude muset pracně dokazovat že stálopřímkopráce je "normální práce", čímž se dostane zase na začátek.

Takže než se žáček dopracuje ke křivkovému integrálu, budeme to brát intuitivně. Každému je přece jasné, že práce je jakási námaha. A že když něco někam nesu, tak se namáhám, takže konám práci.

A měli jste mě vidět, když jsem onehdy držel v prackách pytel cementu. Byla to dřina jako hrom. Takže i když jsem ho nikam nenesl, vykonal jsem víc práce než za celý minulý týden...

Myslím, že pokračovat dál nemá smysl.

==================

PS:

>> Asymptota je vnější přímka nebo tečna?

Záleží na tom, v jakém prostoru. V euklidovském vnější přímka, v projektivním tečna.

Eratosthenes napsal(a):

↑ MichalAld:

Definice: Přímka je tečnou kuželosečky právě tehdy, když s ní má právě jeden společný bod a všechny její ostatní body jsou vnější.

Jenže ty to děláš úplně stejně. Ty "vnější body" ... každý sice intuitivně chápe co je vnější bod, ale můžeš to definovat nějak exaktně, co je vnější bod? Když budu mít nějakou náhodně zvolenou kuželosečku, třeba

[mathjax]x^2 - y^2 + x - y +7 =0[/mathjax]

a bod třeba [1,1], jak poznám, jestli je vnější nebo vnitřní? Aniž bych si to musel namalovat? Případně jak poznám, že všechny body nějaké přímky jsou vnější?

A což teprve, když bude rovnice obsahovat smíšený člen xy ? Třeba

[mathjax]x^2 - y^2 + xy + x - y +7 =0[/mathjax]


Já chápu, že jsem asi divnej (vždycky jsem byl), ale pro mě bylo vždycky nejdůležitější, aby ty věci dávaly smysl. Od toho jste vy učitelé, abyste vymysleli jak to podat, aby to bylo v rámci možností korektně, a zároveň to dávalo smysl.

Třeba ta představa, že když soustava rovnic jedné kuželosečky a jedné přímky vede na kvadratickou rovnici - tak když má dva různé reálné kořeny, tak to odpovídá dvěma průsečíkům, a tudíž jde o sečnu, a když ty dva kořeny "splynou" v jeden dvojnásobný, tak jde o tečnu, je zcela korektní. A odpovídá i definici tečny jak se dělá v infinitezimálním počtu. A nemusím řešit nějaké vnější a vnitřní body.

Ale dvojný kořen je něco jiného než obecně jeden společný bod. Když to nemá dvojný kořen, tak to prostě tečna není. Co je na takové představě špatného? A co je špatného na představě, že sečna může mít s kuželosečkou za jistých podmínek i jen jeden společný bod?

↑ MichalAld:

==============
Prostě - po celou ZŠ a SŠ budeme říkat: klučino (děvče) - kašli na nějaké průměry a kolmice, přece intuitivně chápeš, co to znamená "dotýkat se" - takže ke kružnici prostě přilož pravítko...

No ale přesně tohle si myslím.
===============

[mathjax]\Huge T A K \ \ \ T O \ \ \ U  Ž \ \ \ J E  \ \ \  F A K T \ \ \ N O \ \ \ C O M M E N T  [/mathjax]

MichalAld napsal(a):

Mluvíme tu přece o analytické geometrii - nic nerýsujeme, jen počítáme...přikládání pravítka je jen myšlené, proč je s tím takový problém?

Výborná otázka, pokud by ji položil žák 8. třídy ZŠ. Pokládá-li ji moderátor matematického fóra, je to tragédie.

Takže milý Michale, to ti bude muset vysvětlit už někdo jiný. Já už na takovouto debatu fakt nemám ani síly, ani čas.

Eratosthenes napsal(a):

MichalAld napsal(a):

Mluvíme tu přece o analytické geometrii - nic nerýsujeme, jen počítáme...přikládání pravítka je jen myšlené, proč je s tím takový problém?

Výborná otázka, pokud by ji položil žák 8. třídy ZŠ. Pokládá-li ji moderátor matematického fóra, je to tragédie.

Takže milý Michale, to ti bude muset vysvětlit už někdo jiný. Já už na takovouto debatu fakt nemám ani síly, ani čas.

Já jsem ale jen moderátor fyzikální sekce. Do matematických vláken fóra jako moderátor zpravidla nezasahuji. A ani ve vlákně Fyzika nehlásám nic jako patent na rozum. Jen tam mažu hejty a příspěvky rozporující standardně uznávanou fyziku.

Takže nechápu, co ti tak vadí na tom, že mám na věci trochu jiný názor.

↑ MichalAld:

Áno, aj ja túto definíciu poznám :-)

Pre korektnosť - na wiki môže písať ktokoľvek... :-D

Už jen tak pro zajímavost - myšlenku "dvojnásobného průsečíku" lze využít i u komplikovanějších křivek než jsou kuželosečky. Třeba pro obecný polynom.

Když vezmu třeba polynom 3. stupně, [mathjax]y = x^3+3x^2+2x+3[/mathjax] a chci sestrojit tečnu v bodě [0,?], jde to docela snadno. V bodě x = 0 má funkce hodnotu y=3. Takže máme bod [0,3] a chceme v něm najít tu tečnu. A neumíme derivovat.

Ale dokážeme poznat, jestli má rovnice pro průsečíky dvojnásobný kořen. Když tam dosadíme naši přímku (se zatím neznámým sklonem)

[mathjax]x = t[/mathjax]
[mathjax]y = kt + 3[/mathjax]

dostaneme

[mathjax]kt+3 = t^3 + 3t^2 + 2t + 3[/mathjax]

tedy

[mathjax]t^3 + 3t^2 + (2-k)t =0[/mathjax]

No a protože potřebujeme dvojnásobný kořen, a navíc v bodě x = 0, tedy t=0, jediná možnost jak toho dosáhnout je, že budou nenulové jen koeficienty u mocnin vyšších nebo rovných 2, našeho polynomu. Z toho plyne, že k musí být rovno 2.

Takže naše přímka
[mathjax]x = t[/mathjax]
[mathjax]y = 2t + 3[/mathjax]
což je
[mathjax]2x - y + 3 = 0[/mathjax]

je tečnou v bodě x = 0.

Jeden může namítnout, že není příliš užitečné umět počítat tečnu jen v bodě x = 0. Jenže ono to bude fungovat i pro jakékoliv jiné x, pokud zvolíme vhodnou parametrizaci naší přímky tak, aby bod dotyku odpovídal t=0, tak budeme vždy hledat dvojnásobný kořen v nule (aspoň doufám).

PS:
Já netvrdím, že se tohle má někde vyučovat, jen mě samotného zaujalo, že se dá najít tečna i bez derivování, pro polynom libovolného stupně. Až dodnes jsem to netušil. Přitom je to v podstatě celkem jednoduché