Matematické Fórum

Takže: Jak se rozdělí zmrzlina, jestliže spravedlivě rozdělíme oplatek?



Ta sympatická závorka má hodnotu asi  0,317672…, takže ve špičce "spravedlivě rozděleného oplatku" je necelá třetina zmrzliny :-)

Jak vypadaji rezy (roviny), ktere rozdeli na pul zmrzlinu i oplatek? Ta svisla prochazejici osou kuzele je jasna, ale jsou i nejake dalsi?

↑ Eratosthenes:
Tedy co z toho vyplývá. Spravedlivě rozdělení "zmrzliny" v kornoutu (aby každý z dvojice měl stejný díl zmrzliny i oplatky) je rozdělit ji přes špičku řezem kolmým na pdstavu.

Ale co to zkusit šikmou rovinou, která se nedotýká obvodové kružnice podstavy. Já si myslím, že by to mělo jít, ovšem pouze pro jeden poměr v/r. (co mě ktomu vede. pro kouli je objem stejný jako povrch pouze pro r=3)

Honzc napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Ale co to zkusit šikmou rovinou, která se nedotýká obvodové kružnice podstavy.

Proč se nemá dotýkat obvodové kružnice? i pro takový řez by řešení (neprocházející vrcholem) mohlo existovat, nebo ne?

↑ laszky:
Tak obecný řez kuželem (který nemusí procházet podstavnou hranou) lze definovat jednak úhlem $\alpha$ (stejně jako u původního zadání) a pak (například) vzdáleností středu podstavy od průsečnice řezné roviny s podstavnou rovinou – budu značit $d$ – obrázek. Pak s využitím dříve odvozených vzorců pro plášť a objem kosého kuželu se tyto vzorce zobecní (taky móc zábavný proces) na:
$V=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{v{r}^2(v\cdot \cos \alpha -d\cdot \sin \alpha {)}^3}{\sqrt{(v^2\cdot {\cos }^2\alpha -r^2\cdot {\sin }^2\alpha {)}^3}}$
$S_{pl}=\pi rv(d\cdot \tan \alpha -v{)}^2\cdot \sqrt{\frac{r^2+v^2}{(v^2-r^2\cdot {\tan }^2\alpha {)}^3}}$
Porovnáním s celým objemem, resp. celým pláštěm (stejně jako v tom původním speciálním případě), lze vyjádřit buď $\alpha$ v závislosti na $d$, nebo naopak. Druhá varianta je schůdnější a vede na "půlící déčko" při daném úhlu $\alpha$ – pro objem i plášť jsou tyto závislosti evidentně dobře zvládnutelné ($d$ se vyskytuje jen na jednom místě rovnic), ale dost dlouhé, abych je tu vypisoval. Pokud je dám do rovnosti (abych našel $\alpha$ a následně $d$, které kužel dělí na půlky jak z hlediska objemu, tak i pláště), tak z toho leze dosti hnusná rovnice. Ovšem šokující je, že po takové té integrální substituci $\tan \alpha$ se výrazně zjednoduší a dokonce ji lze faktorizovat na
$v^2(r^2{\tan }^2\alpha -v^2{)}^2(r^2{\tan }^2\alpha +v^2(\sqrt[3]{4}-1))=0$
Tato rovnice má evidentně právě dva reálné kořeny, a to
$\alpha =\arctan (\pm \frac{v}{r})$
což je sklon boční strany kuželu, a to samozřejmě není řešení úlohy.
Toto je tedy rozbor situace, kdy řezná rovina neprotíná podstavu kuželu (neboli $d\ge r$) – neexistuje rovina, která by půlila objem kuželu a zároveň i plášť kuželu.
Případ $0<d<r$ se mi ale fakt nechce, nicméně si jsem vcelku jistý, že by to dopadlo stejně. Takže jediné řešení asi bude jen $d=0\wedge \alpha =\frac{\pi }{2}$.
Na závěr bych chtěl poděkovat ↑ laszkymu: za ten jistě nevinný dotaz, kterým jsem se obsedantně připravil o pár hodin víkendového času... ;-)

↑ laszky:
Jj, taky jsem to nejdříve dělal graficky, až pak jsem sebral odvahu se tu rovnost pokusit vyřešit analyticky.
Ale jestli tomu dobře rozumím, také jsi to zkoumal jen pro případy, kdy rovina NEprotíná podstavu kuželu?

surovec napsal(a):

↑ laszky:
Na závěr bych chtěl poděkovat ↑ laszkymu: za ten jistě nevinný dotaz, kterým jsem se obsedantně připravil o pár hodin víkendového času... ;-)

No, já jsem se do toho nepusti, protože jsem víkendový čas obětovat nechtěl. Tak jen několik postřehů od kibice:

Pokud Ti vyšlo  tg alfa = v/r nemusí to být úplně od věci. Rovina řezu pak celkem logicky prochází podstavou, ale pozor - řezem není elipsa :-) Resp. z hlediska projektivní geometrie možná ano, ale je to elipsa poněkud zvláštní - je to "elipsa", která má jeden hlavní vrchol nevlastní, tj. laicky řečeno - v nekonečnu...

Ale ani té parabole bych moc šancí nedával.

Ale ten osový řez, který zadání splňuje, ale která jsme  vyloučili, je rovnoběžný právě se dvěma površkami - stejně jako řez hyperbolický...

Ale ani tady bych moc optimismu neměl :-(

↑ surovec:

Pocital jsem to v Matlabu. Celkem hloupym algoritmem - rozmistil jsem 10000 nahodnych bodu rovnomerne v kuzelu (resp v jeho plasti) a pak pro kazdej uhel naklonu roviny posouval rovinu tak, aby pulka bodu lezela nad ni a pulka pod ni :D Tim jsem pro kazde $\alpha$ nasel $d=d(\alpha )$. Tedy nebylo to uplne pro kazde $\alpha$, ale pro 100 hodnot mezi 0 a $\pi /2$.

↑ surovec:
Když ten plášť rozvineš do roviny, tak to jde. Jen je pak otázka, jak po tom rozvinutí bude vypadat ta elipsa. Možná by to byla zajímavá úloha....

A co 2D zmrzlina - jaký by byl úhel ${\alpha }_{2D}$?
Tedy místo rotačního kužele a objemů nad a pod řezem je rovnoramenný trojúhelník a stejné obsahy nad a pod řezem. Řez zase prochází jedním vrcholem u podstavy.