Matematické Fórum

↑ Anna12:
Hustota pravd. musí splňovat 2 podmínky: je nezáporná, integrál přes celou reálnou osu je 1
Aby to byla hustota pravd, musí být plocha trojúhelníka 1 plošný dílek, tj. výška = 1/h
Hustota:  f(x)=0   x<-h
              f(x)=(x+h)/2(h^2)
              f(x)=0   x>h

Distrib. fce je integrál z hustoty:
               F(x)=0    x<=-h
               F(x)=(x^2)/4h^2 + x/2h + 1/4    (nesmíme zapomenout na integrační konstantu, určí se např. z podmínky F(-h)=0 nebo F(h)=1)
               F(x)=1    x>=h

Primitivní funkce není určena jednoznačně.

Ještě se zeptám, když dělám odhad parametru h založený na maximech, tak jsem postupovala jako: pomoci n-té distribuční funkce F_max(x) = F(x)^n.
n-tá hustota pravděpodobnosti je poté f_max = n*(F(x)^(n-1))*f(x).
Poté dál hledám odhad parametru h pomocí maximalizace n-té distribuční funkce pro n pozorování - tím získáme hodnotu EX, jako funkci parametru h a počtu pozorování n, tedy:
[mathjax]EX =\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,n\cdot \left(\frac{x^{2}+2\,h\,x+h^{2}}{4\,h^{2}}\right)^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2\,h^{2}}}{\;\mathrm{d}x}[/mathjax]

bohužel takový integrál neumím spočítat, dělám někde chybu prosím?

Aký má zmysel skúmať rozdelenie maxima?nemyslíš maximum likelihood to je niečo iné
[mathjax]L{\left(h\right)}=\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{x_i+h}{2h^2}}[/mathjax]
[mathjax]l{\left(h\right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\ln{\left(x_i+h\right)}-\ln{\left(2h^2\right)}\right)}[/mathjax]
[mathjax]l^{\prime}{\left(h\right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h}\right)}[/mathjax]
[mathjax]\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h}\right)}=0[/mathjax]
[mathjax]\frac{2n}{h}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+h}}[/mathjax]
Táto rovnica sa pre všeobecné n a x_i dá riešiť iba numericky.

Tým zistíš strednú hodnotu maxima. Aké je zadanie?
Ešte možno vyjadriť h v závislosti od strednej hodnoty a strednú hodnotu odhadnúť priemerom napr.
[mathjax]EX=\int\limits_{-h}^{h}{\frac{x\left(x+h\right)}{2h^2}\mathrm{d}x}=\int\limits_{-h}^{h}{\frac{x^2+hx}{2h^2}\mathrm{d}x}=\left.\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{hx^2}{2}}{2h^2}\right|_{-h}^{h}=[/mathjax]
[mathjax]=\left.\frac{2x^3+3hx^2}{12h^2}\right|_{-h}^{h}=\frac{5h}{12}-\frac{h}{12}=\frac{h}{3}[/mathjax]
[mathjax]h=3EX[/mathjax]
[mathjax]\hat{h}=3\overline{x}[/mathjax]

Jaj tak potom[mathjax]\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,n\cdot \left(\frac{x^{2}+2\,h\,x+h^{2}}{4\,h^{2}}\right)^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2\,h^{2}}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]
=\frac{n}{h}\cdot\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,\left(\frac{x+h}{2\,h}\right)^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,\left(x+h\right)^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\int\limits_{\scriptsize 0}^{\scriptsize 2h}{\left(t-h\right)t^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{t^{2n}}{2n}\right]_0^{2h}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\left(\frac{\left(2h\right)^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{\left(2h\right)^{2n}}{2n}\right)=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{4hn}{2n+1}-h=h\frac{2n-1}{2n+1}[/mathjax]
[mathjax]\hat{h}=\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\max{\left(\left(x_i\right)_{i=1}^{n}\right)}[/mathjax]
Ak som nespravil chybu. Ale podľa mňa to takto nedáva zmysel.