Matematické Fórum

↑ Anna12:
Hustota pravd. musí splňovat 2 podmínky: je nezáporná, integrál přes celou reálnou osu je 1
Aby to byla hustota pravd, musí být plocha trojúhelníka 1 plošný dílek, tj. výška = 1/h
Hustota:  f(x)=0   x<-h
              f(x)=(x+h)/2(h^2)
              f(x)=0   x>h

Distrib. fce je integrál z hustoty:
               F(x)=0    x<=-h
               F(x)=(x^2)/4h^2 + x/2h + 1/4    (nesmíme zapomenout na integrační konstantu, určí se např. z podmínky F(-h)=0 nebo F(h)=1)
               F(x)=1    x>=h

Primitivní funkce není určena jednoznačně.

Ještě se zeptám, když dělám odhad parametru h založený na maximech, tak jsem postupovala jako: pomoci n-té distribuční funkce F_max(x) = F(x)^n.
n-tá hustota pravděpodobnosti je poté f_max = n*(F(x)^(n-1))*f(x).
Poté dál hledám odhad parametru h pomocí maximalizace n-té distribuční funkce pro n pozorování - tím získáme hodnotu EX, jako funkci parametru h a počtu pozorování n, tedy:
$EX=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}xn\cdot {\left(\frac{x^2+2hx+h^2}{4h^2}\right)}^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2h^2}\mathrm{d}x$

bohužel takový integrál neumím spočítat, dělám někde chybu prosím?

Aký má zmysel skúmať rozdelenie maxima?nemyslíš maximum likelihood to je niečo iné
$L\left(h\right)=\prod _{i=1}^n\frac{x_i+h}{2h^2}$
$l\left(h\right)=\sum _{i=1}^n(\ln (x_i+h)-\ln \left(2h^2\right))$
$l^{\prime }\left(h\right)=\sum _{i=1}^n(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h})$
$\sum _{i=1}^n(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h})=0$
$\frac{2n}{h}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i+h}$
Táto rovnica sa pre všeobecné n a x_i dá riešiť iba numericky.

Tým zistíš strednú hodnotu maxima. Aké je zadanie?
Ešte možno vyjadriť h v závislosti od strednej hodnoty a strednú hodnotu odhadnúť priemerom napr.
$EX=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\frac{x(x+h)}{2h^2}\mathrm{d}x=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\frac{x^2+hx}{2h^2}\mathrm{d}x={\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{h{x}^2}{2}}{2h^2}|}_{-h}^h=$
$={\frac{2x^3+3h{x}^2}{12h^2}|}_{-h}^h=\frac{5h}{12}-\frac{h}{12}=\frac{h}{3}$
$h=3EX$
$\hat{h}=3\bar{x}$

Jaj tak potom$\underset{-h}{\overset{h}{\int }}xn\cdot {\left(\frac{x^2+2hx+h^2}{4h^2}\right)}^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2h^2}\mathrm{d}x=$
$=\frac{n}{h}\cdot \underset{-h}{\overset{h}{\int }}x{\left(\frac{x+h}{2h}\right)}^{2n-1}\mathrm{d}x=$
$=\frac{n}{h{\left(2h\right)}^{2n-1}}\cdot \underset{-h}{\overset{h}{\int }}x{(x+h)}^{2n-1}\mathrm{d}x=$
$=\frac{n}{h{\left(2h\right)}^{2n-1}}\cdot \underset{0}{\overset{2h}{\int }}(t-h)t^{2n-1}\mathrm{d}x=$
$=\frac{n}{h{\left(2h\right)}^{2n-1}}\cdot {[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{t^{2n}}{2n}]}_0^{2h}=$
$=\frac{n}{h{\left(2h\right)}^{2n-1}}\cdot (\frac{{\left(2h\right)}^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{{\left(2h\right)}^{2n}}{2n})=$
$=\frac{4hn}{2n+1}-h=h\frac{2n-1}{2n+1}$
$\hat{h}=\frac{2n+1}{2n-1}\cdot max\left({\left(x_i\right)}_{i=1}^n\right)$
Ak som nespravil chybu. Ale podľa mňa to takto nedáva zmysel.