Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 05. 2024 10:52

Anna12
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Odhad parametru h náhodné veličiny X

Ahoj,

potřebovala bych pomoct ještě s tímto příkladem, v kterém mám chybu.
(Příklad již jsem jednou zveřejňovala, avšak přestal fungovat odkaz a nově přikládám i moje řešení, tak snad nevadí.)

Zadání: Náhodná veličina X má rozdělení dané funkcí hustoty dané obrázkem: https://imagizer.imageshack.com/img923/5937/fymw5M.png

Moje řešení: https://imagizer.imageshack.com/img924/7932/WAA6e3.png

Myslím, že bych funkci hustoty měla mít určenou správně, distribuční funkce je zdá se špatně.

Děkuji moc za pomoc!

Offline

 

#2 14. 05. 2024 13:57 — Editoval Richard Tuček (14. 05. 2024 13:59)

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1128
Reputace:   19 
Web
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

↑ Anna12:
Hustota pravd. musí splňovat 2 podmínky: je nezáporná, integrál přes celou reálnou osu je 1
Aby to byla hustota pravd, musí být plocha trojúhelníka 1 plošný dílek, tj. výška = 1/h
Hustota:  f(x)=0   x<-h
              f(x)=(x+h)/2(h^2)
              f(x)=0   x>h

Distrib. fce je integrál z hustoty:
               F(x)=0    x<=-h
               F(x)=(x^2)/4h^2 + x/2h + 1/4    (nesmíme zapomenout na integrační konstantu, určí se např. z podmínky F(-h)=0 nebo F(h)=1)
               F(x)=1    x>=h

Primitivní funkce není určena jednoznačně.

Offline

 

#3 14. 05. 2024 15:53

Anna12
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Super, dekuji. Uz je mi jasne, kde jsem udelala chybu.
Jeste se zeptám na tu rovnost, proc se udelala u distribuční funkce  rovnost x <= -h (F(x) = 0 ) a neudelalo se to napriklad pro -h<= x <= h (F(x) = (x^2)/4h^2 + x/2h + 1/4).

Offline

 

#4 14. 05. 2024 17:19

Anna12
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Ještě se zeptám, když dělám odhad parametru h založený na maximech, tak jsem postupovala jako: pomoci n-té distribuční funkce F_max(x) = F(x)^n.
n-tá hustota pravděpodobnosti je poté f_max = n*(F(x)^(n-1))*f(x).
Poté dál hledám odhad parametru h pomocí maximalizace n-té distribuční funkce pro n pozorování - tím získáme hodnotu EX, jako funkci parametru h a počtu pozorování n, tedy:
[mathjax]EX =\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,n\cdot \left(\frac{x^{2}+2\,h\,x+h^{2}}{4\,h^{2}}\right)^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2\,h^{2}}}{\;\mathrm{d}x}[/mathjax]

bohužel takový integrál neumím spočítat, dělám někde chybu prosím?

Offline

 

#5 15. 05. 2024 14:28

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1128
Reputace:   19 
Web
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

↑ Anna12:
Pokud chci určit konstantu, volím co nejlehčí postup.
Co myslíte pojmem n-tá distribuční funkce?

Více je o tom též na mém webu www.tucekweb.info.

Offline

 

#6 16. 05. 2024 12:38

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Aký má zmysel skúmať rozdelenie maxima?nemyslíš maximum likelihood to je niečo iné
[mathjax]L{\left(h\right)}=\prod\limits_{i=1}^{n}{\frac{x_i+h}{2h^2}}[/mathjax]
[mathjax]l{\left(h\right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\ln{\left(x_i+h\right)}-\ln{\left(2h^2\right)}\right)}[/mathjax]
[mathjax]l^{\prime}{\left(h\right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h}\right)}[/mathjax]
[mathjax]\sum\limits_{i=1}^{n}{\left(\frac{1}{x_i+h}-\frac{2}{h}\right)}=0[/mathjax]
[mathjax]\frac{2n}{h}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{x_i+h}}[/mathjax]
Táto rovnica sa pre všeobecné n a x_i dá riešiť iba numericky.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 16. 05. 2024 16:12

Anna12
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Koukala jsem na jiné postupy jak odhadnout parametr h založený na maximech a ty mi jsou celkem jasné. Co jsme dělali my, tak jsme aplikovali právě vzorec f_max = n * F(x)^2 a ten jsme pak vložili do vzorce EX = integrál od -1 do 1 z (x * f_max) dx. Poté mi ale vyjde integrál, který úplně neumím řešit.

Offline

 

#8 16. 05. 2024 17:33

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Tým zistíš strednú hodnotu maxima. Aké je zadanie?
Ešte možno vyjadriť h v závislosti od strednej hodnoty a strednú hodnotu odhadnúť priemerom napr.
[mathjax]EX=\int\limits_{-h}^{h}{\frac{x\left(x+h\right)}{2h^2}\mathrm{d}x}=\int\limits_{-h}^{h}{\frac{x^2+hx}{2h^2}\mathrm{d}x}=\left.\frac{\frac{x^3}{3}+\frac{hx^2}{2}}{2h^2}\right|_{-h}^{h}=[/mathjax]
[mathjax]=\left.\frac{2x^3+3hx^2}{12h^2}\right|_{-h}^{h}=\frac{5h}{12}-\frac{h}{12}=\frac{h}{3}[/mathjax]
[mathjax]h=3EX[/mathjax]
[mathjax]\hat{h}=3\overline{x}[/mathjax]


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 16. 05. 2024 17:44

Anna12
Příspěvky: 101
Reputace:   
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Zadání je jen, abych odhadla parametr h založený na maximech. V prvním bodě jsem dělala na průměrech, přesně tak jak uvádíte a teď mi chybí na maximech.

Offline

 

#10 17. 05. 2024 06:45 — Editoval jarrro (17. 05. 2024 06:50)

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Odhad parametru h náhodné veličiny X

Jaj tak potom[mathjax]\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,n\cdot \left(\frac{x^{2}+2\,h\,x+h^{2}}{4\,h^{2}}\right)^{n-1}\cdot \frac{x+h}{2\,h^{2}}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]
=\frac{n}{h}\cdot\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,\left(\frac{x+h}{2\,h}\right)^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]

[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\int\limits_{\scriptsize -h}^{\scriptsize h}{x\,\left(x+h\right)^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\int\limits_{\scriptsize 0}^{\scriptsize 2h}{\left(t-h\right)t^{2n-1}}{\;\mathrm{d}x}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{t^{2n}}{2n}\right]_0^{2h}=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{n}{h\left(2h\right)^{2n-1}}\cdot\left(\frac{\left(2h\right)^{2n+1}}{2n+1}-h\frac{\left(2h\right)^{2n}}{2n}\right)=[/mathjax]
[mathjax]=\frac{4hn}{2n+1}-h=h\frac{2n-1}{2n+1}[/mathjax]
[mathjax]\hat{h}=\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\max{\left(\left(x_i\right)_{i=1}^{n}\right)}[/mathjax]
Ak som nespravil chybu. Ale podľa mňa to takto nedáva zmysel.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson