Matematické Fórum

↑ Eratosthenes:
No jo, ale někdy zkoušku provést nejde (když těch kandidátů vyjde nekonečně mnoho).
S těmi úpravami máš samozřejmě pravdu, ale ty by mělo jít také ošetřit podmínkami. A já tam nic dalšího nevidím...

↑ MichalAld:
Aha, takže ta poslední podmínka je [mathjax]\sqrt{x+6}-2\sqrt{10-3x}> 0[/mathjax], z čehož plyne [mathjax]\frac{34}{13}<x\le\frac{10}{3}[/mathjax]. Je to tak?

kastanek napsal(a):

↑ MichalAld:
Aha, takže ta poslední podmínka je [mathjax]\sqrt{x+6}-2\sqrt{10-3x}> 0[/mathjax], z čehož plyne [mathjax]\frac{34}{13}<x\le\frac{10}{3}[/mathjax]. Je to tak?

Né, poslední podmínka je, že [mathjax]\sqrt{x+6}-2\sqrt{10-3x}=1[/mathjax]

Většina takovýchto rovnic nemá nekonečné množství řešení. Až na takovou narazíš, tak ji sem napiš a vymyslíme, jak postupovat v takovémto případě. Podle mě bude stačit vzít jedno číslo z celého toho nekonečna.

Eratosthenes napsal(a):

Nanejvýš se může stát, že ti z toho vyleze 0=0. Tam zkoušku opravdu dělat nejde, ale ani není proč. Řešením je všechno, co splňuje podmínky existence výrazu.

A seš si tím jistý? Třeba rovnice

[mathjax]\sqrt{x+1}=-\sqrt{x+1}[/mathjax]

nám dá po umocnění výraz 0=0, a přitom je zjevné, že má jednoduché (a jediné) řešení x = -1. Nechce se mi teď vymýšlet příklad, kde by to na první pohled zjevné nebylo, ale předpokládám, že takový případ může taky nastat.

To ale pak nemůžu umocnit žádnou rovnici tvaru f(x) = 0

↑ Eratosthenes:
Takových rovnic je... no, určitě několik desítek ;-)
Třeba [mathjax]2\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}=1-2x[/mathjax]
Tam zkoušku udělat nelze, musí se stanovit podmínky. V tomto případě je to snadné, ale co když se zkombinuje "nekonečně mnoho kandidátů na řešení" a "nejdou(?) pořádně stanovit podmínky"?
A to nemluvím o iracionálních nerovnicích, kde se prostě bez VŠECH podmínek neobejdeme.
Podle mě je ta poslední podmínka takm jak jsem napsal výše. Umocnění je totiž ekvivalentní, pokud jsou na obou stranách (ne)rovnice kladné výrazy. A jelikož jednička je kladná, proto i ta levá strana musí být kladná, aby nevznikla falešná řešení.

↑ Eratosthenes:

Ahoj.

Len drobná poznámka.

Myslím, že x je koreň rovnice.

Napísať, že pre x>0,5 (teda koreň rovnice väčší ako 0,5) rovnica nemá riešenie si myslím, že teda logicky nie je správne. Buď niečo je koreň (x) (teda po dosadení do oboch strán vyhovuje) alebo nie... Skúška ukáže.

kastanek napsal(a):

↑ Eratosthenes:
Takových rovnic je... no, určitě několik desítek ;-)
Třeba [mathjax]2\sqrt{x^2-x+\frac{1}{4}}=1-2x[/mathjax]
Tam zkoušku udělat nelze, musí se stanovit podmínky. V tomto případě je to snadné, ale co když se zkombinuje "nekonečně mnoho kandidátů na řešení" a "nejdou(?) pořádně stanovit podmínky"?
A to nemluvím o iracionálních nerovnicích, kde se prostě bez VŠECH podmínek neobejdeme.
Podle mě je ta poslední podmínka takm jak jsem napsal výše. Umocnění je totiž ekvivalentní, pokud jsou na obou stranách (ne)rovnice kladné výrazy. A jelikož jednička je kladná, proto i ta levá strana musí být kladná, aby nevznikla falešná řešení.

Mě ten Erathostenův přístup nedává moc smysl...tím netvrdím, že je špatný, ale prostě to nějak nechápu.

Já si myslím, že výrazy s odmocninami jsou "lineárně nezávislé", tedy že z rovnice obsahující členy typu [mathjax]\sqrt{x+a} + \sqrt{x+b}=\sqrt{x+c}[/mathjax] nikdy nebude mít  nekonečné množství řešení. A je to jen příklad, obecně jakékoliv výrazy z odmocninami se nebudou nikdy rovnat pro všechna x. Aspoň si to myslím, teorii jsem nestudovalo. Takže takto nekonečné množství řešení prostě dostat nemůžeš.

Podle mě jediná cesta co k tomu vede je výraz typu [mathjax]\sqrt{x^2}[/mathjax]. Takže třeba rovnice

[mathjax]\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2}=(2x+3)[/mathjax]

případně

[mathjax]\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2}=-(2x+3)[/mathjax]


Je jasné, že když budou výrazy v závorce větší než nula, tak se mocniny a odmocniny vyruší a dostaneme

[mathjax](x+1)+(x+2)=(2x+3)[/mathjax]

což má nekonečno řešení, nebo

[mathjax](x+1)+(x+2)=-(2x+3)[/mathjax]

což má jedno.

Můžeš samozřejmě rovnici umocnit, jak se to běžně dělá, potom bys měl dostat obě tyto varianty. Já tak aktivní nejsem, abych se s tím počítal. Jen si myslím, že tohle je jediný způsob, jak dostat to nekonečné množství řešení. Že je tam někde schovaná ta [mathjax]\sqrt{x^2}[/mathjax], i když to není na první pohled zřejmé.

Takže když si toho nevšimneš hned a zjistíš to až po umocnění, že máš nekonečný počet řešení, tak se vrátit zase na začátek a zkusit to tam najít. Protože podle mě to tam být někde musí.

Jinak rovnice tohoto typu by se asi správně měla řešit jinak, měla by se převést na rovnici s absolutními hodnotami, tedy

[mathjax]|x+1|+|x+2|=2x+3[/mathjax]

Nevím, jestli jste se tohle učili řešit, není to nic složitého, jen je to opruz - musí se najít všechna ta x, pro která výrazy v absolutních hodnotách mění znaménko (v tomto případě pro x=-1 a x=-2) a pro každý interval napsat korektní rovnici bez absolutních hodnot - a pokud má řešení, tak zase ověřit, jestli leží v povoleném intervalu.

Ale za mě jsou takovéhle příklady jen k potrápení studentů, a normálně se nevyskytují. Já se s tím vlastně nikdy nesetkal, až tady  a teď.

Takže na závěr si dovolím vyslovit tvrzení, které ovšem nevím, jestli je pravda a jak ho případně dokázat - totiž, pokud má iracionální rovnice nekonečné množství řešení, musí se na to dát přijít i bez toho, abychom rovnici umocňovali. Musí obsahovat člen typu [mathjax]\sqrt{x^2}[/mathjax], i když to nemusí být na první pohled úplně zřejmé (pokud se teda odmocniny neodečtou navzájem rovnou).

Eratosthenes napsal(a):

A proč by se měl vracet na začátek, když má rovnici vyřešenou?

Jak vyřešenou? Vyšlo mu 0=0.

Eratosthenes napsal(a):

Takže moje řešení

=========================
[mathjax]2\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2}=1-2x[/mathjax]

1) [mathjax]x_1={1\over 2}[/mathjax]. Nulový bod výrazu pod odmocninou je, jak říkáš, "kandidát", a v tomto případě je to kořen, ověříme dosazením (což je vlastně zkouška).

...
...

Jenže to znamená, že si toho člověk musí všimnout hned, že se to nemá umocňovat. Což se né vždycky stane. Ty vlastně začínáš od začátku rovnou, a já jen říkám, že když po umocnění vyjde 0=0 tak je třeba se zase vrátit na začátek, a hledat tam výraz typu [mathjax]\sqrt{(...)^2}[/mathjax]

Ahoj, nečetl jsem to celé, ale podle mě: Důsledkové úpravy můžeš dělat jaké chceš, ale když ti pak vyjde nekonečně mnoho řešení tak máš smůlu a ta důsledková úprava byla k ničemu, musíš hledat postup řešení jinak. (Protože musíš provést zkoušku a ta se pro nekonečně řešení dělá těžko.)

K důsledkové úpravě lze přidat dodatečnou podmínku, kterou počet řešení snížíš - dokonce tak můžeš získat i ekvivaletní úpravu. Např. umocníš rovnici na druhou, ale přidáš k tomu navíc podmínku, že levá i pravá strana jsou nezáporné nebo levá i pravá strana jsou nekladné. pak už je to ekvivaletní úprava, resp. získáš tak ekvivalentní tvrzení - i když ve složitějším tvaru - obsahue logické spojky.... Proto může být lepší si tu rovnici upravit tak, aby na jedné straně byla konstanta a pak jedna z těch logických formulí odpadne, protože nebude splněna...

↑ check_drummer:
Jo, souhlas, přesně to jsem psal v úvodních příspěvcích.