Matematické Fórum

↑ check_drummer:,
Pozdravujem,
Nie to nie pozadovane.

↑ vanok:↑ vanok:
Řekl bych, že jsou to tyto:
6, 8, 10
6, 25, 29
7, 15, 20
9, 10, 17
5, 12, 13

↑ vanok:
Pořádný důkaz nemám. Jen jsem odvodil, že strany musí splňovat
$a^3+b^3+c^3-a^{2}b-a{b}^2-b^{2}c-b{c}^2-a^{2}c-a{c}^2+16a+16b+16c+2abc$,
omezil jsem rozsah odhadem (kdy už obsah z celých čísel přerůstá možnosti obvodu) a projel to hrubou silou (cyklus od 1 do 30). Ten výraz jde asi nějak šikovně upravit, rád si počkám na něčí důkaz.

vanok napsal(a):

↑ check_drummer:,
Pozdravujem este,
Mozte pouzit Heron-ov  vzorec.

To jsem si uvědomil a současně mě to hned i odradilo. :-))

↑ vanok:

Ahoj, kdyz pouzijeme Heronuv vzorec, tak by melo platit:

${\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=2s,}$

kde $s=o/2.$  Po uprave z toho vyjde:

${\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c)=4s.}$

Z toho je take videt, ze $s$ musi byt cele cislo (vlevo by se jinak nasobily zlomky).

Soucet vsech tri zavorek je $3s-(a+b+c)=s$, takze staci najit vsechna prirozena cisla, ktera splnuji

$xyz=4(x+y+z)$

Nasledne z nich lze dopocitat $a=y+z$,  $b=x+z$,  $c=x+y$.

Moznejch reseni nebude moc, protoze pokud si ta cisla seradime: $x\le y\le z,$ potom je

$z(xy-4)=4(x+y)>0,$ takze $xy\ge 5\Rightarrow y^2\ge xy\ge 5\Rightarrow y\ge 3$ a

${\displaystyle z=\frac{4(x+y)}{xy-4}\ge y\Rightarrow 4(x+y)\ge y(xy-4)\Rightarrow x(y^2-4)\le 8y\Rightarrow 1\le x\le \frac{8y}{y^2-4}}$

Z toho ziskame $y^2-8y-4\le 0\Rightarrow y<4+\sqrt{20}\Rightarrow y\le 8.$

Vyloucenim par necelociselnych kombinaci, zjistime, ze mozne jsou jen kombinace

$(x,y,z)\in \{(1,5,24),(1,6,14),(1,8,9),(2,3,10),(2,4,6)\},$  ze kterych vyjde

$(a,b,c)\in \{(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17),(5,12,13),(6,8,10)\}.$

↑ vanok:
Moje řešení