Matematické Fórum

↑ check_drummer:,
Pozdravujem,
Nie to nie pozadovane.

↑ vanok:↑ vanok:
Řekl bych, že jsou to tyto:
6, 8, 10
6, 25, 29
7, 15, 20
9, 10, 17
5, 12, 13

↑ vanok:
Pořádný důkaz nemám. Jen jsem odvodil, že strany musí splňovat
[mathjax]{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}-{a}^{2}b-a{b}^{2}-{b}^{2}c-b{c}^{2}-{a}^{2}c-a
{c}^{2}+16\,a+16\,b+16\,c+2\,abc[/mathjax],
omezil jsem rozsah odhadem (kdy už obsah z celých čísel přerůstá možnosti obvodu) a projel to hrubou silou (cyklus od 1 do 30). Ten výraz jde asi nějak šikovně upravit, rád si počkám na něčí důkaz.

vanok napsal(a):

↑ check_drummer:,
Pozdravujem este,
Mozte pouzit Heron-ov  vzorec.

To jsem si uvědomil a současně mě to hned i odradilo. :-))

↑ vanok:

Ahoj, kdyz pouzijeme Heronuv vzorec, tak by melo platit:

[mathjax] {\displaystyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 2s,   } [/mathjax]

kde [mathjax] s=o/2. [/mathjax]  Po uprave z toho vyjde:

[mathjax] {\displaystyle (s-a)(s-b)(s-c) = 4s.   } [/mathjax]

Z toho je take videt, ze [mathjax]s[/mathjax] musi byt cele cislo (vlevo by se jinak nasobily zlomky).

Soucet vsech tri zavorek je [mathjax] 3s - (a+b+c) = s[/mathjax], takze staci najit vsechna prirozena cisla, ktera splnuji

[mathjax] xyz = 4(x+y+z) [/mathjax]

Nasledne z nich lze dopocitat [mathjax]a=y+z[/mathjax],  [mathjax]b=x+z[/mathjax],  [mathjax]c=x+y[/mathjax].

Moznejch reseni nebude moc, protoze pokud si ta cisla seradime: [mathjax] x\leq y\leq z, [/mathjax] potom je

[mathjax] z(xy-4) = 4(x+y) > 0,\;\;\; [/mathjax] takze [mathjax]\;\;\; xy\geq5\;\;\;\Rightarrow\;\;\; y^2\geq xy\geq 5\;\;\;\Rightarrow\;\;\; y\geq 3\;\;\; [/mathjax] a

[mathjax] {\displaystyle z = \frac{4(x+y)}{xy-4} \geq y\;\;\; \Rightarrow \;\;\; 4(x+y) \geq y(xy-4) \;\;\;\Rightarrow\;\;\; x(y^2-4)\leq 8y\;\;\;\Rightarrow\;\;\; 1\leq x\leq \frac{8y}{y^2-4} } [/mathjax]

Z toho ziskame [mathjax] y^2-8y-4\leq 0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y<4+\sqrt{20}  \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y\leq 8. [/mathjax]

Vyloucenim par necelociselnych kombinaci, zjistime, ze mozne jsou jen kombinace

[mathjax] (x,y,z)\in\{(1,5,24),(1,6,14),(1,8,9),(2,3,10),(2,4,6)\}, [/mathjax]  ze kterych vyjde

[mathjax] (a,b,c)\in\{(6,25,29),(7,15,20),(9,10,17),(5,12,13),(6,8,10)\}. [/mathjax]

↑ vanok:
Moje řešení