Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Ahoj, můžeme a0,a1 volit nulové nebo záporné?

Když zvolíme nulové oba, tak je nulová i celá řada. Takže tohle né. Jeden nulový být může. Tím by se mohlo začít

Po nějakém hledání jsem našel pár nápadů, které možná k důkazu stačí.

Každý ví, že funkci $e^x$ lze napsat jako řadu

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

no a pro řadu $e^{x^2}$ by mělo platit, že

$e^{x^2}=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{n!}$


Podíl dvou po sobě jdoucích členů je

$\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\frac{n!}{(n+1)n!}=\frac{1}{n+1}$

a pro velká n prostě 1/n

No a naše mocninná řada je tvořena dvěma řadami, a každá z nich je definována vztahem

$a_{k+2}=\frac{2k+1-\lambda }{(k+1)(k+2)}{a}_k=\frac{2k+1-\lambda }{k^2+3k+2}{a}_k$

pro velká k tedy jako 2/k

Což by tedy mělo znamenat, že naše řada roste rychleji než $e^{x^2}$. Nebo aspoň stejně, to by stačilo. Pokud tedy má ty sudé mocniny.

Když ale bude obsahovat jen ty liché, tak už si tím tak jistý nejsem, jestli to z toho plyne.

Když bude obsahovat obojí - tak ty liché mocniny budou vždycky pro x < 0 s opačným znaménkem než pro x > 0, takže i když to na jednom konci bude třeba konvergovat k nule, na druhém to bude utíkat k nekonečnu ještě více.

Akorát by mě zajímalo, jak to je, když naše řada bude obsahovat jen ty liché mocniny, jestli také poroste rychleji než $e^{x^2}$. Možná by se mohlo vytknout x, a pak by zůstala řada sudých mocnin, takže by to ve finále rostlo rychleji než $x{e}^{x^2}$. Ale na to se musím ještě podívat.