Matematické Fórum

↑ MichalAld:
Ahoj, můžeme a0,a1 volit nulové nebo záporné?

Když zvolíme nulové oba, tak je nulová i celá řada. Takže tohle né. Jeden nulový být může. Tím by se mohlo začít

Po nějakém hledání jsem našel pár nápadů, které možná k důkazu stačí.

Každý ví, že funkci [mathjax]e^x[/mathjax] lze napsat jako řadu

[mathjax]\large e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}[/mathjax]

no a pro řadu [mathjax]e^{x^2}[/mathjax] by mělo platit, že

[mathjax]\large e^{x^2} = \frac{x^0}{0!} + \frac{x^2}{1!} + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} =  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}[/mathjax]


Podíl dvou po sobě jdoucích členů je

[mathjax]\large \frac{\frac{1}{ (n+1)! }}{\frac{1}{ n! }}=\frac{n!}{(n+1)n!}=\frac{1}{n+1}[/mathjax]

a pro velká n prostě 1/n

No a naše mocninná řada je tvořena dvěma řadami, a každá z nich je definována vztahem

[mathjax]\large a_{k+2} = \frac{2k+1-\lambda}{(k+1)(k+2)}a_k = \frac{2k+1-\lambda}{k^2 + 3k + 2}a_k[/mathjax]

pro velká k tedy jako 2/k

Což by tedy mělo znamenat, že naše řada roste rychleji než [mathjax]e^{x^2}[/mathjax]. Nebo aspoň stejně, to by stačilo. Pokud tedy má ty sudé mocniny.

Když ale bude obsahovat jen ty liché, tak už si tím tak jistý nejsem, jestli to z toho plyne.

Když bude obsahovat obojí - tak ty liché mocniny budou vždycky pro x < 0 s opačným znaménkem než pro x > 0, takže i když to na jednom konci bude třeba konvergovat k nule, na druhém to bude utíkat k nekonečnu ještě více.

Akorát by mě zajímalo, jak to je, když naše řada bude obsahovat jen ty liché mocniny, jestli také poroste rychleji než [mathjax]e^{x^2}[/mathjax]. Možná by se mohlo vytknout x, a pak by zůstala řada sudých mocnin, takže by to ve finále rostlo rychleji než [mathjax]xe^{x^2}[/mathjax]. Ale na to se musím ještě podívat.