Matematické Fórum

Skrytý text:

Vyjděme z toho, že 2=1+1
Tedy budeme řešit rovnici $(2^k{)}^2=(2^m{)}^3+(2^n{)}^5$
Tímto samozřejmě nenajdeme "všechna" řešení, ale dokážeme, že je jich nekonečně mnoho
Aby to platilo musí být 3m=5n
Dále položme m=5(2a+1)
Potom n=3(2a+1) kde $a=\{0,1,2,...\}$
Z toho $k=15a+8$
Pak pro jednotlivá a vychází
$akmnxyz$
$08532^8{2}^5{2}^3$
$1231592^{23}{2}^{15}{2}^9$
atd.  cbd
Je také možné vyjít z rovnice $(3\cdot 2^k{)}^2=(2\cdot 2^m{)}^3+(2^n{)}^5$
Musí opět platit 3m=5n
Tedy položme m=5.2a
Z toho $m=10a,n=6a,k=15a$
Pak pro jednotlivá a vychází
$akmnxyz$
$00003\cdot 2^{8}2\cdot 2^0{2}^0$
$1151063\cdot 2^{15}2\cdot 2^{10}{2}^6$
atd.  cbd
Dále je možné vyjít z rovnice $(3\cdot 2^k{)}^2=(2^m{)}^3+(2^n{)}^5$
Aby to platilo musí být 3m=2k
Položme $m=10a+4,n=6a+3,k=15a+6$
Pak pro jednotlivá a vychází
$akmnxyz$
$06433\cdot 2^6{2}^4{2}^3$
$1211493\cdot 2^{21}{2}^{14}{2}^9$
atd.  cbd

Skrytý text:

Kombinace mého a tvého řešení
1. x=3(n+1)^(15a)
    y=2(n+1)^(10a)
    z=(n+1)^(6a)
2. x=3.2^(15a+6)
    y=2.2^(10a+4)
    z=2^(6a+3)
3. x=2^(15a+8)
    y=2^(10a+5)
    z=2^(6a+3)
kde a,n=N0
4. x=(n^10)(n+1)^8
    y=(n^7)(n+1)^5
    z=(n^4)(n+1)^3
kde n=N-1

Ovšem to určitě nejsou "všechna" řešení, protože jsem ješte našel
x=411,y=41,z=10
a nevím jestli nebudou ještě nějaká podobná další