Matematické Fórum

Skrytý text:

Vyjděme z toho, že 2=1+1
Tedy budeme řešit rovnici [mathjax](2^{k})^{2}=(2^{m})^{3}+(2^{n})^{5}[/mathjax]
Tímto samozřejmě nenajdeme "všechna" řešení, ale dokážeme, že je jich nekonečně mnoho
Aby to platilo musí být 3m=5n
Dále položme m=5(2a+1)
Potom n=3(2a+1) kde [mathjax]a=\{0,1,2,...\}[/mathjax]
Z toho [mathjax]k=15a+8[/mathjax]
Pak pro jednotlivá a vychází
[mathjax]a\,\, \, \,k\,\, \, \,m\,\, \, \,n\,\, \, \,x\,\, \, \,y\,\, \, \,z[/mathjax]
[mathjax]0\,\, \, \,8\,\, \, \,5\,\, \, \,3\,\, \, \,2^{8}\,\, \, \,2^{5}\,\, \, \,2^{3}[/mathjax]
[mathjax]1\,\, \, \,23\,\, \, 15\,\, \, \,9\,\,\,\,2^{23}\,\, \, \,2^{15}\,\, \, \,2^{9}[/mathjax]
atd.  cbd
Je také možné vyjít z rovnice [mathjax](3\cdot 2^{k})^{2}=(2\cdot 2^{m})^{3}+(2^{n})^{5}[/mathjax]
Musí opět platit 3m=5n
Tedy položme m=5.2a
Z toho [mathjax]m=10a,n=6a,k=15a[/mathjax]
Pak pro jednotlivá a vychází
[mathjax]a\,\, \, \,k\,\, \, \,m\,\, \, \,n\,\, \, \,x\,\, \, \,y\,\, \, \,z[/mathjax]
[mathjax]0\,\, \, \,0\,\, \, \,0\,\, \, \,0\,\, \, \,3\cdot 2^{8}\,\, \, \,2\cdot 2^{0}\,\, \, \,2^{0}[/mathjax]
[mathjax]1\,\, \, \,15\,\, \, \,10\,\, \, \,6\,\, \, \,3\cdot 2^{15}\,\, \, \,2\cdot 2^{10}\,\, \, \,2^{6}[/mathjax]
atd.  cbd
Dále je možné vyjít z rovnice [mathjax](3\cdot 2^{k})^{2}=(2^{m})^{3}+(2^{n})^{5}[/mathjax]
Aby to platilo musí být 3m=2k
Položme [mathjax]m=10a+4,n=6a+3,k=15a+6[/mathjax]
Pak pro jednotlivá a vychází
[mathjax]a\,\, \, \,k\,\, \, \,m\,\, \, \,n\,\, \, \,x\,\, \, \,y\,\, \, \,z[/mathjax]
[mathjax]0\,\, \, \,6\,\, \, \,4\,\, \, \,3\,\, \, \,3\cdot 2^{6}\,\, \, \,2^{4}\,\, \, \,2^{3}[/mathjax]
[mathjax]1\,\, \, \,21\,\, \, \,14\,\, \, \,9\,\, \, \,3\cdot 2^{21}\,\, \, \,2^{14}\,\, \, \,2^{9}[/mathjax]
atd.  cbd

Skrytý text:

Kombinace mého a tvého řešení
1. x=3(n+1)^(15a)
    y=2(n+1)^(10a)
    z=(n+1)^(6a)
2. x=3.2^(15a+6)
    y=2.2^(10a+4)
    z=2^(6a+3)
3. x=2^(15a+8)
    y=2^(10a+5)
    z=2^(6a+3)
kde a,n=N0
4. x=(n^10)(n+1)^8
    y=(n^7)(n+1)^5
    z=(n^4)(n+1)^3
kde n=N-1

Ovšem to určitě nejsou "všechna" řešení, protože jsem ješte našel
x=411,y=41,z=10
a nevím jestli nebudou ještě nějaká podobná další