Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 06. 2024 21:21

bobik105
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
 

Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

Zdravím, mám následující příklad:
Určete absolutní extrémy funkce [mathjax]f(x,y)=x^3-3xy+y^3[/mathjax] na množině [mathjax]M[/mathjax] tvořené trojúhelníkem s vrcholy [mathjax][1,1][/mathjax], [mathjax][0,-1][/mathjax] a [mathjax][-1,0][/mathjax].

Jak jsem postupoval:
Nakreslil jsem si trojúhelník a vyjádřil rovnice stran trojúhelníku, a to [mathjax]y=2x-1[/mathjax][mathjax]y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}[/mathjax][mathjax]y=-x-1[/mathjax].
Prvním krokem bylo spočítání podezřelých bodů na lokální extrémy, ty vyšly [mathjax][0,0][/mathjax] a [mathjax][1,1][/mathjax]. Oba leží v množině, tedy ok.
Druhým krokem bylo dosazení první přímky do rovnice, tedy: [mathjax]f(x,2x-1)=x^3-3x(2x-1)+(2x-1)^3[/mathjax]. Toto jsem zderivoval a položil rovno nule. Podezřelé body vyšly [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][1,1][/mathjax].
Třetím krokem bylo dosazení druhé přímky do rovnice, derivace vyšla 0, tedy LE neexistuje.
Čtvrtým krokem bylo dosazení třetí přímky do rovnice, body vyšly [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a opět [mathjax][1,1][/mathjax].
Nyní jsem vzal všechny tyto podezřelé body, vypočítal funkční hodnoty, porovnal a udělal závěr. Problém je v tom, že nevím, jestli mohu do podezřelých bodů zahrnout i krajní body trojúhelníka.
Kdybych je tam nezahrnul, vyšlo by, že absolutním minimem je bod [mathjax][1,1][/mathjax] a absolutními maximy jsou body [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax]. Jenže když jsem koukal na návody, tak všude ty krajní body také dosazovali, v tom případě by byly absolutními minimy i body [mathjax][0,-1][/mathjax] a [mathjax][-1,0][/mathjax].

Jenomže ve výsledcích je uvedeno toto:
Absolutní minimum: [1,1], y = -1-x pro [mathjax]x\in [-1,0][/mathjax]
Absolutní maximum: [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax]

Tedy nevím, jestli je ve výsledcích chyba a nejsou tam zahrnuty krajní body, nebo jestli má úvaha je špatná.

Předem děkuji za reakce.


PS. Přehled funkčních hodnot, abyste je nemuseli počítat
[mathjax]f(1,1)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(0,-1)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(-1,0)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(0,0)=0[/mathjax]
[mathjax]f(1/3,-1/3)=1/3[/mathjax]
[mathjax]f(-1/3,1/3)=1/3[/mathjax]

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) bobik105)

#2 22. 06. 2024 01:02

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5693
Reputace:   215 
Web
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

bobik105 napsal(a):

Absolutní minimum: [1,1], y = -1-x pro [mathjax]x\in [-1,0][/mathjax]

Kolik vyjde y, kdyz za x dosadis hodnoty -1 a 0? ;-)

Offline

 

#3 22. 06. 2024 08:41 — Editoval bobik105 (22. 06. 2024 08:42)

bobik105
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ Stýv:
V případě dosazení x=-1 vyjde y=0 a když x=0, tak y=-1. Ale nechápu, jak to s tím souvisí, o bodu [1,1] nejsou pochybnosti, to je navíc i lokální minimum. Já mám problém pochopit, jestli ty krajní body tam patří taky, neb u bodů [1,1], [0,-1] a [-1,0] vychází funkční hodnota -1, tedy všechny tří by měly být absolutními minimy. Potřebuji si toto jen ověřit, jestli ve výsledcích tyto body nechybí.

Offline

 

#4 22. 06. 2024 08:50 — Editoval surovec (22. 06. 2024 08:52)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ bobik105:
Asi jsi v popisu prohodil třetí a čtvrtý krok, tvůj třetí krok by měl vyjít po dosazení třetí, nikoliv druhé přímky. Dosazením ti vyšla konstantní funkce, netřeba tedy derivovat a všechny body na této straně trojúhelníku mají stejnou funkční hodnotu. Pokud je minimem nějaký bod, pak jsou minimem všechny body na této straně.

Offline

 

#5 22. 06. 2024 09:02

bobik105
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ surovec:
Máš pravdu, omlouvám se. Derivace vyšla 0 po dosazení přímky y = -x-1. Nicméně asi jsem natvrdlej, nebo nevim :-D, ale znamená to tedy, že tam ty body [0,-1] a [-1,0] nepatří, protože derivace vyšla takto? Jenže těmito body prochází i ostatní dvě přímky...

Offline

 

#6 22. 06. 2024 09:09

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ bobik105:
Jak říkám, řezem té plochy je vodorovná přímka, takže VŠECHNY body na té přímce mají stejnou funkční hodnotu (včetně těch krajních bodů).

Offline

 

#7 22. 06. 2024 09:20

bobik105
Zelenáč
Příspěvky: 24
Reputace:   
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ surovec:
O.K., beru tedy, že body [1,1], [-1,0] [0,-1] mají STEJNÉ funkční hodnoty a tudíž jsou všechny tří globálními minimy. Děkuji.

Offline

 

#8 22. 06. 2024 09:35 — Editoval surovec (22. 06. 2024 09:36)

surovec
Příspěvky: 1006
Reputace:   24 
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

↑ bobik105:
Ale nejenom ty. Také všechny body "mezi" [–1; 0] a [0; –1].
Obrázek

Offline

 

#9 23. 06. 2024 13:10

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

Já nikdy neměl rád, když se příklady tohoto typu dávaly bez předchozího “varování”. Ale učitelé na to zjevně mají jiný názor.

No, je to plus minus to samé, jako ptát se na globální extrém funkce y=6.

Nevzpomínám si, že by mi někdy někdo v životě řekl, jestli mám tohle považovat za extrém funkce (který je všude) nebo se to za extrém nepovažuje.

Offline

 

#10 23. 06. 2024 13:48 — Editoval MichalAld (23. 06. 2024 13:55)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4976
Reputace:   125 
 

Re: Absolutní extrémy na množině dané trojúhelníkem

Ve fyzice se to třeba rozlišuje, mluví se o stabilním, labilním a indiferentním stavu. Tak bych řekl, že by se to mohlo rozlišovat i v matematice. Vše ale záleží na tom, jestli je v definici extrému ostrá či neostrá nerovnost.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson