Matematické Fórum

Zdravím, mám následující příklad:
Určete absolutní extrémy funkce [mathjax]f(x,y)=x^3-3xy+y^3[/mathjax] na množině [mathjax]M[/mathjax] tvořené trojúhelníkem s vrcholy [mathjax][1,1][/mathjax], [mathjax][0,-1][/mathjax] a [mathjax][-1,0][/mathjax].

Jak jsem postupoval:
Nakreslil jsem si trojúhelník a vyjádřil rovnice stran trojúhelníku, a to [mathjax]y=2x-1[/mathjax];  [mathjax]y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}[/mathjax];  [mathjax]y=-x-1[/mathjax].
Prvním krokem bylo spočítání podezřelých bodů na lokální extrémy, ty vyšly [mathjax][0,0][/mathjax] a [mathjax][1,1][/mathjax]. Oba leží v množině, tedy ok.
Druhým krokem bylo dosazení první přímky do rovnice, tedy: [mathjax]f(x,2x-1)=x^3-3x(2x-1)+(2x-1)^3[/mathjax]. Toto jsem zderivoval a položil rovno nule. Podezřelé body vyšly [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][1,1][/mathjax].
Třetím krokem bylo dosazení druhé přímky do rovnice, derivace vyšla 0, tedy LE neexistuje.
Čtvrtým krokem bylo dosazení třetí přímky do rovnice, body vyšly [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a opět [mathjax][1,1][/mathjax].
Nyní jsem vzal všechny tyto podezřelé body, vypočítal funkční hodnoty, porovnal a udělal závěr. Problém je v tom, že nevím, jestli mohu do podezřelých bodů zahrnout i krajní body trojúhelníka.
Kdybych je tam nezahrnul, vyšlo by, že absolutním minimem je bod [mathjax][1,1][/mathjax] a absolutními maximy jsou body [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax]. Jenže když jsem koukal na návody, tak všude ty krajní body také dosazovali, v tom případě by byly absolutními minimy i body [mathjax][0,-1][/mathjax] a [mathjax][-1,0][/mathjax].

Jenomže ve výsledcích je uvedeno toto:
Absolutní minimum: [1,1], y = -1-x pro [mathjax]x\in [-1,0][/mathjax]
Absolutní maximum: [mathjax][-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}][/mathjax] a [mathjax][\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}][/mathjax]

Tedy nevím, jestli je ve výsledcích chyba a nejsou tam zahrnuty krajní body, nebo jestli má úvaha je špatná.

Předem děkuji za reakce.


PS. Přehled funkčních hodnot, abyste je nemuseli počítat
[mathjax]f(1,1)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(0,-1)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(-1,0)=-1[/mathjax]
[mathjax]f(0,0)=0[/mathjax]
[mathjax]f(1/3,-1/3)=1/3[/mathjax]
[mathjax]f(-1/3,1/3)=1/3[/mathjax]