Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 07. 2024 19:56 — Editoval Eratosthenes (18. 07. 2024 20:00)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Kongruence

Zdravám všechny,

narazil jsem na drobný problém. Kongruence (označím třeba [mathjax]\Phi _n[/mathjax]) je standardně definována na množině [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]:

[mathjax] (\forall a,b\in \mathbb{Z})(\forall n\in \mathbb{N}-\{0;1\})(a,b\in \Phi _n \Leftrightarrow n|a-b)[/mathjax]

Nikde jsem neviděl definici kongruence na množině [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax]. Zdá se mi, že jediným problémem by byla neuzavřenost rozdílu [mathjax]a-b[/mathjax], se kterou by bylo možné se snadno vypořádat:

[mathjax](\forall a,b\in \mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N}-\{0;1\})(a,b\in \Phi _n \Leftrightarrow ((n|a-b\Leftrightarrow a\ge b) \wedge (n|b-a\Leftrightarrow b>a) )[/mathjax].

Je to tak, anebo mi něco uniká?

Díky za reakce a postřehy.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Eratosthenes)

#2 19. 07. 2024 19:08

check_drummer
Příspěvky: 4766
Reputace:   105 
 

Re: Kongruence

↑ Eratosthenes:
Jednodušší definice by byla, že kongruece je ekvivalence, tak ti rozdělí celou množinu na třídy, tak na N to prostě definujeeš tak, že ty třídy omezíš, aby obsahovaly jen prvky z N.
A díky tomu že to jde takto, tak asi nikdo kongruenci na N moc neřeší...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 19. 07. 2024 20:40 — Editoval Eratosthenes (19. 07. 2024 20:42)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Kongruence

↑ check_drummer:

Díky za reakci, ale jde mi o něco trochu jiného - totiž definovat kongruenci zcela bez použití celých čísel.

Vysvětlím proč: každý text o grupách, okuzích atd., který jsem dosud viděl, uvádí jako příklad grupy právě [mathjax]\mathbb{Z}_n[/mathjax]. Ano, je to hezké, ale už se neřeší, jak jsou zavedena celá čísla. Ta se zavádějí pomocí ekvivalence na [mathjax]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/mathjax]. To je sice OK, ale jde to obecněji - axiomaticky:
1.  axiom:  [mathjax](\mathbb{Z};+)[/mathjax] je grupa
2.  axiom:  [mathjax](\mathbb{Z};\cdot )[/mathjax] je pologrupa s jednotkou
atd.
a ekvivalenci na [mathjax]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/mathjax] pak lze uvést jako příklad konkrétní kostrukce [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax].

Jenže to se u předcházejícího pojmu grupa musím obejít bez celých čísel, abych se nedostal do logického kruhu. Na druhou stranu se v předcházejících grupách nechci vzdát těch kongruencí.

Tak mě zajímá, jestli tam není nějaký principiální problém, kvůli němuž by třeba [mathjax]\mathbb{N}_n[/mathjax] nebyla grupa, anebo by dokonce na [mathjax]\mathbb{N}  [/mathjax] kongruenci nešlo vůbec definovat. Já tam žádný problém nevidím, ale chci se ujistit...

Díky.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#4 19. 07. 2024 22:22

check_drummer
Příspěvky: 4766
Reputace:   105 
 

Re: Kongruence

↑ Eratosthenes:
Napadá mě zda je z hlediska logiky korektní použít výraz a-b, přestože tedy uvádíš dále podmínky, kdy ho lze použít.
A v prvním případě může nastat možnost a=b a tedy a-b=0 - nulu počítáš mezi přirozená čísla?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 20. 07. 2024 00:01 — Editoval Eratosthenes (20. 07. 2024 00:11)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Kongruence

↑ check_drummer:

Tak přece jenom něco, naštěstí (snad) nic závažného.

Nula problém není. Peanovy axiomy se dají formulovat s nulou i bez nuly, ale konstrukce množiny [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax] je jednodušší s nulou (von Neumannova konstrukce).

Rozdíl přirozených čísel se dá definovat jako "neúplná operace":

[mathjax]a-b=c\Leftrightarrow b+c=a[/mathjax]

anebo v zápisu kongruence obejít:

[mathjax](\forall a,b\in \mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N}-\{0;1\})(a,b\in \Phi _n \Leftrightarrow (\exists c\in \mathbb{N})((a+c=b \vee  b+c=a) \wedge  n|c)[/mathjax].

Díky za postřeh, nechám ještě otevřeno.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#6 20. 07. 2024 07:38

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Kongruence

ahoj. nie je skôr "problém" deliteľnosť v Z ? lebo v N je to čiastočné usporiadanie ale v Z nie (napr. [mathjax]2|(-2)\& (-2)|2[/mathjax] ale [mathjax]2\neq -2[/mathjax])


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 20. 07. 2024 08:15

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Kongruence

↑ jarrro:

Ale to by měl být problém spíš v [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax] ne? Ale problém to není ani tam. Proč by měl být problém v [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax], kde záporná čísla nemám?


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 20. 07. 2024 18:27

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1122
Reputace:   19 
Web
 

Re: Kongruence

↑ Eratosthenes:
Kongruence modulo n se definuje na Z,  a~b (mod n) <=> n| (a-b)
Pokud chci definovat kongruenci na N, tak každou zbytkovou třídu prostě očešu.

Význam má i kongruence modulo 1 a modulo 0.

O kongruencích je také na mém webu www.tucekweb.info

P.S. Na MFF UK jsem pochopil, že pojem kongruence patří v matematice mezi důležité.

Offline

 

#9 20. 07. 2024 19:41 — Editoval Eratosthenes (20. 07. 2024 20:06)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Kongruence

↑ Richard Tuček:

Je fajn, že jsi na Matfyzu pochopil kongruence. Ale já chci definovat kongruence zcela bez použití celýh čísel. A to jsi zjevně ještě nepochopil.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 20. 07. 2024 20:06

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 1122
Reputace:   19 
Web
 

Re: Kongruence

↑ Eratosthenes:

Jakákoli 2 čísla jsou kongruentní modulo 1, tj. je to největší ekvivalence.
Ačkoli nulou dělit nelze, kongruence modulo 0 smysl má. Platí:   1|a,    a|0   pro každé a celé číslo.
a~b (mod 0)   <=>   0|(a-b) a to je možné jedině tehdy, když a=b,  (základní rovnost)
Kongruence modulo nula je diagonální relace. (viz též web www.tucekweb.info)

Offline

 

#11 20. 07. 2024 21:32

check_drummer
Příspěvky: 4766
Reputace:   105 
 

Re: Kongruence

Jenom připomenu, že obecně kongruence se v algebře myslí relace ekvivalence slučitelná s operacemi dané algebry. Zde máme jeden speciální příklad, nejspíš ten první který byl v historii zkoumán, a proto se asi taky nazývá kongruence.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#12 21. 07. 2024 01:03 — Editoval Brano (21. 07. 2024 01:11)

Brano
Příspěvky: 2653
Reputace:   230 
 

Re: Kongruence

este poznamka, vieme sa lahko vyhnut symbolu pre delitelnost a potom vidiet, ze netreba robit vynimky pre [mathjax] n [/mathjax]

[mathjax](\forall a,b,n\in \mathbb{N})[(a,b)\in \Phi _n \Leftrightarrow (\exists c\in \mathbb{N})(a+cn=b \vee  b+cn=a)][/mathjax]

pre [mathjax] \mathbb{Z} [/mathjax] to vyzera takto

[mathjax](\forall a,b,n\in \mathbb{Z})[(a,b)\in \Phi _n \Leftrightarrow (\exists c\in \mathbb{Z})(a+cn=b)][/mathjax]

(standardne sa mozno nedefinuje modulo zaporne cislo ale preco nie) .. a vidime ze je to v celych cislach sikovnejsie ako v prirodzenych, ale nie o moc takze smelo definuj v prirodzenych, nevidim v tom ziaden problem; len pozor na zatvorky, relacia ekvivalencie je mnozina parov :-)

Offline

 

#13 21. 07. 2024 10:19 — Editoval Eratosthenes (21. 07. 2024 10:22)

Eratosthenes
Příspěvky: 2661
Reputace:   134 
 

Re: Kongruence

↑ Brano:

Přesně to mě v noci napadlo (u přirozených čísel). A že to u záporných čísel může znamenat záporné modulo a že to není nic proti ničemu, to je fakt dost dobrý :-)

Díky moc

PS: závorky - jasně, nějak jsem je zapomněl.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson