Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Díky za reakci, ale jde mi o něco trochu jiného - totiž definovat kongruenci zcela bez použití celých čísel.

Vysvětlím proč: každý text o grupách, okuzích atd., který jsem dosud viděl, uvádí jako příklad grupy právě [mathjax]\mathbb{Z}_n[/mathjax]. Ano, je to hezké, ale už se neřeší, jak jsou zavedena celá čísla. Ta se zavádějí pomocí ekvivalence na [mathjax]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/mathjax]. To je sice OK, ale jde to obecněji - axiomaticky:
1.  axiom:  [mathjax](\mathbb{Z};+)[/mathjax] je grupa
2.  axiom:  [mathjax](\mathbb{Z};\cdot )[/mathjax] je pologrupa s jednotkou
atd.
a ekvivalenci na [mathjax]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/mathjax] pak lze uvést jako příklad konkrétní kostrukce [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax].

Jenže to se u předcházejícího pojmu grupa musím obejít bez celých čísel, abych se nedostal do logického kruhu. Na druhou stranu se v předcházejících grupách nechci vzdát těch kongruencí.

Tak mě zajímá, jestli tam není nějaký principiální problém, kvůli němuž by třeba [mathjax]\mathbb{N}_n[/mathjax] nebyla grupa, anebo by dokonce na [mathjax]\mathbb{N}  [/mathjax] kongruenci nešlo vůbec definovat. Já tam žádný problém nevidím, ale chci se ujistit...

Díky.

↑ check_drummer:

Tak přece jenom něco, naštěstí (snad) nic závažného.

Nula problém není. Peanovy axiomy se dají formulovat s nulou i bez nuly, ale konstrukce množiny [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax] je jednodušší s nulou (von Neumannova konstrukce).

Rozdíl přirozených čísel se dá definovat jako "neúplná operace":

[mathjax]a-b=c\Leftrightarrow b+c=a[/mathjax]

anebo v zápisu kongruence obejít:

[mathjax](\forall a,b\in \mathbb{N})(\forall n\in \mathbb{N}-\{0;1\})(a,b\in \Phi _n \Leftrightarrow (\exists c\in \mathbb{N})((a+c=b \vee  b+c=a) \wedge  n|c)[/mathjax].

Díky za postřeh, nechám ještě otevřeno.

↑ jarrro:

Ale to by měl být problém spíš v [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax] ne? Ale problém to není ani tam. Proč by měl být problém v [mathjax]\mathbb{N}[/mathjax], kde záporná čísla nemám?

↑ Richard Tuček:

Je fajn, že jsi na Matfyzu pochopil kongruence. Ale já chci definovat kongruence zcela bez použití celýh čísel. A to jsi zjevně ještě nepochopil.

Jenom připomenu, že obecně kongruence se v algebře myslí relace ekvivalence slučitelná s operacemi dané algebry. Zde máme jeden speciální příklad, nejspíš ten první který byl v historii zkoumán, a proto se asi taky nazývá kongruence.

↑ Brano:

Přesně to mě v noci napadlo (u přirozených čísel). A že to u záporných čísel může znamenat záporné modulo a že to není nic proti ničemu, to je fakt dost dobrý :-)

Díky moc

PS: závorky - jasně, nějak jsem je zapomněl.