Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Dobrého odpoledne přeji,
je v tom nějak zakopaný pes, už asi hodinu se snažím nějak matematicky dokázat jedno z de M. pravidel. Jedno bylo v pohodě, druhé nějak ne a ne vyjádřit.
Zadání:
Mějme množiny , kde Pak platí:
(nějak neumím vysázet rozdíl množin)
Asi by se to mělo dokazovat přes oboustrannou inkluzi, případně jen jednostrannou s ekvivalentními kroky - takže nebude té druhé třeba (resp. bude se pouze číst "odzadu"). Chtěl jsem nějak začít, ale nevím, jak ty množiny vyjádřit.
Návody na internetu jsem četl, ale nějak z toho nejsem chytrej. Došel jsem akorát k tomuto:
Beru libovolný prvek z levé strany. Patří do S () a zároveň nepatří do průniku, takže nenáleží do A_1 nebo do A_2 nebo do A_3, ..., takže patří do sjednocení doplňků , pokud to tedy patří do S i do tohoto sjednocení, patří to do
Je to nějaké kostrbaté a hlavně ten první úkon (průnik -> doplněk) bych u zkoušky asi nějak neobhájil logicky.
Teď na to s odstupem několika minut koukám a nejspíš to zní i logicky, proto bych rád nějaké komentáře/rady, jak nějak ten důkaz zaonačit, děkuji.
Offline
Pokud tomu dobře rozumím, tak doplňkem myslíš doplňek do množiny , tedy . Pak ale nechápu
pokud to tedy patří do S i do tohoto sjednocení, patří to do .
to je pak automaticky splněno, když je to to samé.
Místo formulací "patří do ... nebo do ... nebo do ..." bych volil formulaci "existuje takové, že ". Takže celý důkaz by vypadal takto:
Nechť . je tedy prvkem a není prvkem , existuje tedy takové, že . To znamená, že je prvkem a tedy i prvkem sjednocení .
Opačně nechť . Existuje tedy takové, že . To ale znamená, že . Nemůže proto být ani prvkem průniku . Proto musí být prvkem .
Edit: Ještě upozornění - nikde se neřeklo, že je spočetná množina, nemůžeš tedy obecně vyjmenovat všechny jako , , , ...
Offline
↑ Pavel Brožek: mohla bych se, prosím, zeptat, jak se v tom důkazu vzalo to a proč nemůže být x ani prvkem průniku? Snažila jsem se to i nakreslit, ale nějak to nechápu. Díky moc.
Offline
↑ nakoolla:
je označení pro ten index, pro který platí . Mohl jsem ho klidně označit jinak, to prostě byla moje volba značení.
Kdyby x bylo prvkem pak přece nemůže být prvkem
Offline
Stránky: 1