Matematické Fórum

halogan · 29. 10. 2009 15:43

Dobrého odpoledne přeji,

je v tom nějak zakopaný pes, už asi hodinu se snažím nějak matematicky dokázat jedno z de M. pravidel. Jedno bylo v pohodě, druhé nějak ne a ne vyjádřit.

Zadání:

Mějme množiny $S, A_\alpha, \alpha \in I$ , kde $I \neq \empty.$ Pak platí:
$S - \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I}(S - A_\alpha).$
(nějak neumím vysázet rozdíl množin)

Asi by se to mělo dokazovat přes oboustrannou inkluzi, případně jen jednostrannou s ekvivalentními kroky - takže nebude té druhé třeba (resp. bude se pouze číst "odzadu"). Chtěl jsem nějak začít, ale nevím, jak ty množiny vyjádřit.

Návody na internetu jsem četl, ale nějak z toho nejsem chytrej. Došel jsem akorát k tomuto:

Beru libovolný prvek z levé strany. Patří do S ( $x \in S$ ) a zároveň nepatří do průniku, takže nenáleží do A_1 nebo do A_2 nebo do A_3, ..., takže patří do sjednocení doplňků $\bigcup_{\alpha \in I} A^{\prime}_{\alpha}$ , pokud to tedy patří do S i do tohoto sjednocení, patří to do $\bigcup_{\alpha \in I}(S - A_\alpha).$

Je to nějaké kostrbaté a hlavně ten první úkon (průnik -> doplněk) bych u zkoušky asi nějak neobhájil logicky.

Teď na to s odstupem několika minut koukám a nejspíš to zní i logicky, proto bych rád nějaké komentáře/rady, jak nějak ten důkaz zaonačit, děkuji.

Pavel Brožek

Pokud tomu dobře rozumím, tak doplňkem myslíš doplňek do množiny $S$ , tedy $S\setminus A=A'$ . Pak ale nechápu

pokud to tedy patří do S i do tohoto sjednocení, patří to do $\bigcup_{\alpha \in I}(S - A_\alpha)$ .

to je pak automaticky splněno, když je to to samé.

Místo formulací "patří do ... nebo do ... nebo do ..." bych volil formulaci "existuje $\alpha$ takové, že $x\in A_\alpha$ ". Takže celý důkaz by vypadal takto:

Nechť $x\in S\setminus\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$ . $x$ je tedy prvkem $S$ a není prvkem $\bigcap_{\alpha\in I}A_{\alpha}$ , existuje tedy $\beta$ takové, že $x\not{\in}A_\beta$ . To znamená, že $x$ je prvkem $S\setminus A_\beta$ a tedy i prvkem sjednocení $\bigcup_{\alpha\in I}(S\setminus A_\alpha)$ .

Opačně nechť $x\in\bigcup_{\alpha\in I}(S\setminus A_\alpha)$ . Existuje tedy $\beta$ takové, že $x\in S\setminus A_{\beta}$ . To ale znamená, že $x\not\in A_\beta$ . Nemůže proto být ani prvkem průniku $\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$ . Proto musí být prvkem $S\setminus\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$ .

Edit: Ještě upozornění - nikde se neřeklo, že $I$ je spočetná množina, nemůžeš tedy obecně vyjmenovat všechny $A_\alpha$ jako $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ , ...

nakoolla

↑ Pavel Brožek: mohla bych se, prosím, zeptat, jak se v tom důkazu vzalo to $\beta$ a proč nemůže být x ani prvkem průniku? Snažila jsem se to i nakreslit, ale nějak to nechápu. Díky moc.

Pavel Brožek

↑ nakoolla:

$\beta$ je označení pro ten index, pro který platí $x\not\in A_\beta$ . Mohl jsem ho klidně označit jinak, to prostě byla moje volba značení.

Kdyby x bylo prvkem $\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$ pak přece nemůže být prvkem $S\setminus\bigcap_{\alpha\in I}A_\alpha$

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2009 15:43

de Morganova pravidla

#2 29. 10. 2009 16:17 — Editoval BrozekP (29. 10. 2009 23:35)

Re: de Morganova pravidla

#3 28. 10. 2012 11:14 — Editoval nakoolla (28. 10. 2012 11:15)

Re: de Morganova pravidla

#4 28. 10. 2012 11:31 — Editoval Pavel Brožek (28. 10. 2012 11:31)

Re: de Morganova pravidla

Zápatí