Matematické Fórum

↑ Noobdoge:

Ahoj,

mně taky vychází kubická rovnice, ale já ji vyřešit umím :-)

Napiš, jaká ti vyšla, jestli ji máš správně. Pak bych tě na řešení navedl. Není to úplně jednoduché. Chce to trochu fištróna a počtářských zkušeností :-)

PS: kolegy na fóru určitě napadne úplně jiné a naprosto jednoduché řešení. Ale prosím, aby ho prozatím neprozrazovali. Ona se ta kubická rovnice řeší docela dobře, když jeden její kořen znáte předem :-)

↑ Eratosthenes: rozepsal jsem si pomocí vzorců cos2x takze vzniklo: [mathjax]\sin x × (\cos ²x - \sin ²x)+1=0[/mathjax] po roznasobení jsem jeste prepsal clen [mathjax]\cos ²x[/mathjax] na [mathjax](1-\sin ²x)[/mathjax] po následném roznásobení a sečtení vzniklo [mathjax]-2\sin ³x+\sin x+1=0[/mathjax] tady jsem zvolil substituci [mathjax]t=\sin x[/mathjax] a měl jsem kubickou rovnici se kterou dál nevím co dál, tedy: [mathjax]t -2t³=-1[/mathjax] Máte nějaký trik nebo nějakou metodu "zkusmo" jak to vyřešit, děkuju předem za odpověď.

↑ Eratosthenes:

Rovnice je OK, takže



Stačí, anebo  mám jít ještě o krok dál?

↑ Noobdoge:

Takže úplně jednoduše:

[mathjax]\huge \sin x\cos 2 x=-1[/mathjax]

Zamysli se, jakých hodnot může nebývat ten sinus a ten kosinus a kdy ten součin nalevo může být mínis jedna (třeba si nakresli ty dva grafy do jednoho obrázku :-)

↑ Noobdoge:

[mathjax]\huge \sin x\cos 2 x=-1[/mathjax]

Takže buď

a)

[mathjax]\huge \sin x =-1[/mathjax] a současně [mathjax]\huge \cos 2 x=1[/mathjax]

a je potřeba najít společné řešení těchto dvou rovnic

anebo

b)

[mathjax]\huge \sin x = 1[/mathjax] a současně [mathjax]\huge \cos 2 x=-1[/mathjax]

a je potřeba najít společné řešení těchto dvou rovnic.

Nic jiného tu rovnici neřeší. Takže buď budeš počítat, anebo si nakreslíš obrázek. Z obrázku je to vidět hned.

↑ Noobdoge:

Na střední škole všechno.

Jinak je velmi zajímavé, že z té kubické rovnice "vypadnou" rovnice dvě



Středoškolské řešení dá ta první závorka. Ta červená kvadratická rovnice pro sinus nemá reálné řešení, ale bereme-li sinus jako funkci komplexní proměnné, dostaneme další čtyři kořeny (ale jsou tedy dost hnusné :-)

Úloha moc pěkná.

↑ Eratosthenes:
Ne tak pardon - ta druhá rovnice má mezi sin a cos operaci plus a tady je krát, takže se chci zeptat, zda opravdu v jednom případě je plus a ve druhém krát.

↑ check_drummer: původně to mělo být s tím krát i u toho příspěvku kde je plus, ale mojí neschopností vzniklo + a tento zmatek a bohužel jsem si toho nevšiml dokud to šlo upravit tak jsem založil téma kde jsem napsal krát, no prostě jsem to dal jinýho hrníčku :)