Matematické Fórum

MaestroR05 · 23. 01. 2025 18:24

$lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{3^{n} + 2^{n}} - \sqrt[3]{3^{n} + n}) (\frac{3^{n} + 2^{n}}{3^{n} + n} + (- 1)^{n} n^{2})$

zacal jsem rozsirenim treti odmocniny, vytknul jsem 2^n v čitateli a (3^n)^1/3 v jmenovateli z tretich odmocnin, potom jsem ve druhem zlomku vytknul 3^n a vykratil, z cehoz mi vznikla jednicka, ale dal si nevim moc rady

Brano · 23. 01. 2025 20:33 — Editoval Brano (23. 01. 2025 20:34)

$(\sqrt[3]{3^{n} + 2^{n}} - \sqrt[3]{3^{n} + n}) (\frac{3^{n} + 2^{n}}{3^{n} + n} + (- 1)^{n} n^{2}) =$
$3^{n / 3} [(1 + (2 / 3)^{n})^{1 / 3} - (1 + n 3^{- n})^{1 / 3}] [\frac{1 + (2 / 3)^{n}}{1 + n 3^{- n}} + (- 1)^{n} n^{2}] \approx$
$3^{n / 3} [(1 + (1 / 3) (2 / 3)^{n}) - (1 + (1 / 3) n 3^{- n})] [1 + (- 1)^{n} n^{2}] =$
$3^{n / 3 - 1} [(2 / 3)^{n} - n 3^{- n}] [1 + (- 1)^{n} n^{2}] =$
$3^{n / 3 - 1} [(2 / 3)^{n} + . . .] [. . . + (- 1)^{n} n^{2}] =$
$\frac{1}{3} n^{2} {(- \frac{8}{9})}^{n / 3} + . . . \approx \frac{1}{3} n^{2} {(- \frac{8}{9})}^{n / 3} \to 0$

MaestroR05 · 24. 01. 2025 16:57

ja to delal takhle

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} (1 + \frac{n}{2^{n}})}{3^{\frac{2}{3} n} (1 + 1 + 1)} (\frac{1}{1} + (- 1)^{n} n^{2})$

potom mi vzniklo toto:

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} + 2^{n} (- 1)^{n} n^{2}}{3^{\frac{2}{3} n + 1}}$

a potom jsem udelal tohle:

$lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{3^{\frac{2}{3} n + 1}} + lim_{n \to \infty} {\frac{2^{n} (- 1)^{n} n^{2}}{3^{\frac{2}{3} n + 1}}}^{}$

kdyz jsem zkousel umocnit 3 na 2/3, vyslo mi 2,...neco, takze teoreticky by to melo znacit ze prvni zlomek jde do nuly, ale u toho druheho si nejsem vubec jisty
zajimalo by me jestli je tento postup taky korektni popripade jak pokracovat dale, za jakekoliv jine poznamky budu taky moc rad, moc diky

Brano · 31. 01. 2025 00:07 — Editoval Brano (31. 01. 2025 00:07)

$\frac{2^{n}}{3^{\frac{2}{3} n}} = {(\frac{8}{9})}^{\frac{n}{3}}$ co konverguje exponencialne k 0, zvysok je polynom a alternujuce znamienko, takze druha limita je 0

krakonoš · 08. 02. 2025 15:33

↑ Brano:
Ahoj.
Taky by šlo využít vzorce( A^3-B^3) pro rozdíl těch odmocnin, ty brát ve smyslu A-B.

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2025 18:24

Limita posloupnosti

#2 23. 01. 2025 20:33 — Editoval Brano (23. 01. 2025 20:34)

Re: Limita posloupnosti

#3 24. 01. 2025 16:57

Re: Limita posloupnosti

#4 31. 01. 2025 00:07 — Editoval Brano (31. 01. 2025 00:07)

Re: Limita posloupnosti

#5 08. 02. 2025 15:33

Re: Limita posloupnosti

Zápatí