Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 01. 02. 2025 09:48 — Editoval Eratosthenes (01. 02. 2025 09:51)
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3110
- Reputace: 140
Re: Iracionální rovnice
↑ kastanek:
Ahoj,
tady buď kořen uhodnout (což není tak těžké)
anebo řešit: jednu z těch odmocnin převést na druhou stranu, umocnit a čert ví, co z toho vyleze...
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#3 01. 02. 2025 10:13
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1268
- Reputace: 19
- Web
Re: Iracionální rovnice
↑ kastanek:
Zkoušel jsem to, ale zatím se mi to nepodařilo. Zkusmo jsem určil, že rovnici vyhovuje např. x = 14
Offline
#4 01. 02. 2025 11:49
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1268
- Reputace: 19
- Web
Re: Iracionální rovnice
↑ kastanek:
Zkusil jsem toto:
použít substituce: z=(x-13)^(1/3);
y=(x+13)^(1/3);
Pak máme: y^3 = x+13; z^3= x - 13;
Dostaneme soustavu rovnic: y^3 - z^3 = 26
y + z = 4
Po úpravě dostanu rovnici o jedné neznámé 3. stupně. Pokud má celočíselné řešení, jsou to dělitelé absolutního členu.
Vyjde 1 celočíselné řešení.
Můžeme to zkusit pomocí Hornerova schématu.
Offline
#5 01. 02. 2025 15:31 — Editoval surovec (01. 02. 2025 15:38)
Re: Iracionální rovnice
↑ kastanek:
Umocnit:
[mathjax]2x+3\sqrt[3]{(x-13)^2(x+13)}+3\sqrt[3]{(x-13)(x+13)^2}=64[/mathjax]
Vytknout
[mathjax]2x+3\sqrt[3]{x^2-169}\left(\sqrt[3]{x-13}+\sqrt[3]{x+13}\right)=64[/mathjax]
A výraz v závorce nahradit hodnotou ze zadání
[mathjax]2x+3\sqrt[3]{x^2-169}\cdot 4=64[/mathjax]
Dále
[mathjax]6\sqrt[3]{x^2-169}=32-x[/mathjax]
Dál už je postup jasný, kubickou rovnici dořešit Cardanem (pokud by šlo o obecný postup s jinými hodnotami, jinak samozřejmě odhad).
Offline
#6 01. 02. 2025 15:34
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3110
- Reputace: 140
Re: Iracionální rovnice
Eratosthenes napsal(a):
↑ kastanek:
...anebo řešit: jednu z těch odmocnin převést na druhou stranu, umocnit a čert ví, co z toho vyleze...
Po substituci
[mathjax]\huge \sqrt[3]{x+13} = y[/mathjax]
mi z toho vylezla kubická rovnice
[mathjax]\huge y^3-6y^2+24y-45=0[/mathjax]
Takže z "kandidátů na celočíselné řešení" (viz ↑ Richard Tuček:), tj. 3; 9; 15 vyhovuje jenom ta trojka.
Dále je tedy
[mathjax]\huge (y-3)(y^2-3y+15)=0[/mathjax]
a ta kvadratická rovnice už reálné řešení nemá.
takže y=3 a po dosazení do té substituce dostaneme tu čtrnáctku.
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#7 01. 02. 2025 15:36
- Eratosthenes
- Příspěvky: 3110
- Reputace: 140
Re: Iracionální rovnice
↑ surovec:
Koukám, že jsme se časově minuli, asi je to totéž v bledě modrém :-)
Budoucnost patří aluminiu.
Offline
#8 01. 02. 2025 15:40 — Editoval surovec (01. 02. 2025 15:42)
Re: Iracionální rovnice
↑ Eratosthenes:
;-)
Vlastně bych měl podobný problémek, dám ho do samostatného zadání.
Offline