Matematické Fórum

Ahoj, myslím, že pro přirozená čísla by to mohlo být třeba:
$\sqrt[3]{n^3}=\sqrt[3]{(n^3-i)+\sqrt{i^2}}=\sqrt[3]{(n-j{)}^3}+\sqrt{j^2}$    pro i,j=1..n-1
a pro $n<0$ a kladná čísla $i,j=1..abs(n-1)$
by to asi mělo platit obdobně

↑ surovec:
Ahoj, máš nějaké netriviální příklady, tj. kdy obě ty druhé odmocniny nejsou přirozená čísla?

↑ check_drummer:
Pokud by to nebyla přirozená čísla, tak by to přece mělo řešení vždy, to by právě bylo triviální, zatímco s přirozenými čísly to moc jednoduché není.

↑ surovec:
A co takhle (uvažujme pouze $\sqrt[3]{kladná}$)
$\sqrt[3]{a+k\sqrt{b}}=c+\sqrt{b}$
$a=c(c^2+3b)$
$k=3c^2+b$
A pak můžeš volit b,c libovolně
Např. pro b=5,c=2   $\sqrt[3]{38+\sqrt{1445}}=2+\sqrt{5}$

Zdravím, pokud by nevadilo to mít jako program v wxMaximě, pak by to mohlo vypadat takto:

Fun(A,B):=block([E: 1E-12, K, N, Q:[], X, Y, Z],
    X: float((A+B)^(1/3)),
    for K in divisors(B^2) do ( N: sqrt(K),
        Y: X-N, Z: round(Y),
        if abs(Z-Y)<E then ( Q: [Z, N], return() ),
        Y: X+N, Z: round(Y),
        if abs(Z-Y)<E then (Q: [Z, -N], return() )
    ), Q    
)$

Pak pro$\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}$ by se zadalo:

Fun(10, sqrt(108));

A program vrátí dvě hodnoty [C, D]:
[1,sqrt(3)]
Mimochodem, funguje to i pro záporný hodnoty. Pokud nenajde celá čísla, vrátí prázdný seznam.

↑ surovec:
No a když teda použijeme ten vzorec, tak z $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}=c+\sqrt{d}$ dostabneme umocněním na 3 a úpravou: $a+\sqrt{b}=c^3+3cd+\sqrt{d}(3c^2+d)$

Takže třeba když b je čtvercůprosté, tak se asi snadno ukáže, že musí být b=d a $3c^2+d=1$ a $a=c^3+3cd$, tj. $a=c^3+3cb$, tj. $a=c.\frac{1-b}{3}+3cb$ a z toho už se c vyjádří, resp. podmínka kdy je celé. A možná podobně i pro b nečtvercůprosté.....

Najde tohle, ale je jestli je to správně nevím:

Program rozloží číslo B na dělitele a zkusí ty nejmenší přičíst, nebo odečíst podle znaménka.

↑ laszky:
To je pěkně fikaný (hlavně ten objev rovnosti $a^2-b$)! Ale má to jeden háček... Při řešení kubické rovnice vznikne právě taková iracionalita (Cardanův vzorec), což je právě to točení v kruhu, které jsem zmínil hned na začátku. Konkrétně např. takto:
$\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}\Rightarrow K=-2$ a rovnice je $3c^3+c^2+6c-10=0$, jejímž řešením je $\frac{1}{9}(\sqrt[3]{1295+153\sqrt{78}}+\sqrt[3]{1295-153\sqrt{78}}-1)$...

Řešení podle ↑ laszky: používá rovnici $4\cdot C^3-3\cdot K\cdot C-A$ kde není kvadratický člen, takže lze podle Kubická rovnice ji převést na kvadratickou rovnici a řešit bez Cardanových vzorců.

↑ mák:
Každou kubiickou rovnici lze převést na kubickou, ve které není kvadratický člen...

mák napsal(a):

rovnice je $3c^3+6c-10=0$, jejímž řešením je c=1,
vyjde celočíselné řešení, Laszky to má dobře

Samozřejmě, že řešením té mé rovnice je jednička, ale analytickým postupem dospěješ k tomu výrazu, co jsem uvedl, a abys bez výpočetní techniky zjistil, že se rovná jedničce, musíš právě ty třetí odmocniny převést na ten tvar, kvůli kterému jsem vlákno založil:
$\frac{1}{9}(\sqrt[3]{1295+153\sqrt{78}}+\sqrt[3]{1295-153\sqrt{78}}-1)=\frac{1}{9}((5+\sqrt{78})+(5-\sqrt{78})-1)=1$
Edit: Já tam totiž dosadil obecnou hodnotu $K$. Pokud se rovnou dosadí konkrétní hodnota, tak ta rovnice je opravdu $4c^3+6c-10=0$, a ta dosazením do Cardana dává hodnotu $\frac{1}{2}(\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{108}})$, což zase vyžaduje celý postup aplikovat, to je to "točení v kruhu". Ale laszky už správně uvedl, že očekáváme celé číslo, a proto lze použít metodu na hledání celočíselných kořenů.

Ale jestli dobře koukám, tak žádné čtvercůprosté b <>1 nevyhoví, tak je potřeba zkoumat obecnější b.

Tedy obecněji:
$\sqrt[3]{a+x\sqrt{b}}=c+\sqrt{d}$
pro čtvrcůprosté b a pak tedy je jako výše:
$a+x\sqrt{b}=c^3+3cd+\sqrt{d}(3c^2+d)$, tedy musí být $d=y^2.b$ pro nějaké y
a podobně jako výše (*) $y.(3c^2+d)=x$ a je potřeba zkoušet každého dělitele y čísla x (je tedy zřejmé, že y nelze volit zcela libovolně, ale musí to být dělitel čísla x), tj. x=y.z pro nějaké z a pak rovnost (*) bude $3c^2+d=z$ a jako výše $a=c^3+3cd$, tj. (**) $a=c.\frac{z-d}{3}+3cd$ a z toho už se c vyjádří, resp. podmínka kdy je celé - vychází mi že musí být z=d (mod 3).


Edit, doplněno: Tedy musí (díky (**)) $\frac{z-d}{3}+3d$ dělit a. Tedy podmínky jsou:
1) y dělí x
2) z=d (mod 3)
3) $\frac{z-d}{3}+3d$ dělí a

Edit: Opraven překlep 3d místo 3b.


Takhle na první poheld se mi to jeví tak, že vyjádření nemusí být jednozančné, tj. že číslo $\sqrt[3]{a+x\sqrt{b}}$ může být možné vyjádřit více způsoby jako $c+\sqrt{d}$ - potvrzují to experimentální data?