Matematické Fórum

↑↑ check_drummer:
Já myslím, že pokud řešení existuje, tak je jednoznačné. Pokud by bylo víc řešení, musela by mít laszkyho rovnice více řešení a to by její diskriminant [mathjax]K^3-a^2=(a^2-b)-a^2=-b[/mathjax] musel být kladný, ale pak by [mathjax]b[/mathjax] muselo být záporné, což odporuje podmínce pro druhou odmocninu...

K #24 jsem dopsal nutné (a myslím že i postačující) podmínky, kdy lze vyjádření provést. každopádně je dost nešikovné, že je potřeba zkoušet téměř všechny dělitele čísla x - nebo minimálně neomezený počet těchto dělitelů....

↑↑ surovec:
K čemu to vlastně potřebuješ? Jde o to v jakém tvaru chceš tu podmínku formulovat?

↑↑ surovec:
Důvod proč to zvládne mákův algoritmus rychle (a možná i Wolfram) je ten, že to číslo nemá moc velký počet dělitelů.

↑↑ mák:
Lze někde pustit Maximu online?

laszky napsal(a):

[mathjax] a+\sqrt{b} = (c + \sqrt{d})^k [/mathjax], pak taky
[mathjax] a-\sqrt{b} = (c - \sqrt{d})^k [/mathjax]

A vynasobenim techto dvou rovnic ziskame

[mathjax] a^2-b = (c^2-d)^k [/mathjax]

To je ono, díky.

Otázka je jak hledat celočíselná řešení rovnice - jedna cesta je právě přes dělitele absolutního členu (takže jsme vlastně tam kde jsme byli). Druhá možnost je přes explicitní vzorec a podívat se jestli je vypočtená hodnoat dostatečně blízko celému číslu.... To už je takové nečisté - nikde není dáno že nemůže vyjít neceločíselné řešení blízké k celému číslu. Tento postup navíc nepůjde použít pro vyšší odmocniny než 4.

Zkoušel jsem i výpočet podle Laszky (kubická rovnice). Ten je podstatně rychlejší, i když program je třikrát delší, na mém počítači trvá cca 0.3 milisekundy.

Má však chybu, kterou neumím odstranit. Pokud je proměnná B záporná, pak vzniklá kubická rovnice vrací tři reálné řešení, z nichž ani jedno nevyhovuje (není celočíselné). Nepřišel jsem na to proč.

Vyřešil jsem to tak, že na začátku programu mám podmínku a pokud je B záporné, otočím znaménka u obou vstupních proměných [A, B], provedu výpočet - tentokrát program vrátí pouze jednu reálnou hodnotu, která je celočíselná a u výsledku otočím znaménka [C, D]. Pak je vše v pořádku.

Ano

Ak tomu spravne rozumiem, tak ide o to aby sme pre dane a,b nasli c,d tak aby platilo [mathjax]\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}=c+\sqrt{d}[/mathjax].
Moj navrh by bol takyto, ale neviem ci je efektivnejsi ako vyssie spominany program, ak by sa niekomu chcelo, tak moze skusit implementovat a uvidi sa (aj mna by to zaujimalo).

[mathjax]\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}[/mathjax] sa da jednoznacne upravit na tvar [mathjax]\sqrt[3]{\alpha+\beta\sqrt{u}}[/mathjax], kde u je bezstvorcove; podobne [mathjax]c+\sqrt{d}[/mathjax] na [mathjax]=\gamma+\delta\sqrt{v}[/mathjax], kde v je bezstvorcove.

Po umocneni na tretiu dostavame [mathjax2]\alpha+\beta\sqrt{u}=(\gamma^3+3\gamma\delta^2v)+(3\gamma^2\delta+\delta^3v)\sqrt{v}.[/mathjax2] Ja som presvedceny ze toto implikuje ze nutne [mathjax]u=v[/mathjax], ale bolo by to treba overit/dokazat.

Teda [mathjax2]\alpha=\gamma^3+3\gamma\delta^2u,[/mathjax2][mathjax2]\beta=3\gamma^2\delta+\delta^3u.[/mathjax2]
Zavedme [mathjax]x=\gamma/\delta[/mathjax] a dostaneme
[mathjax2]\frac{\alpha}{\beta}=\frac{x^3+3xu}{3x^2+u}[/mathjax2]
cize
[mathjax2]\beta x^3-3\alpha x^2+3\beta u x-\alpha u=0.[/mathjax2]
Hladame racionalne korene tohoto polynomu, na co su standardne algoritmy. Ak najdeme nejake racionalne riesenie [mathjax]x[/mathjax], tak [mathjax]\gamma=\delta x[/mathjax] dosadime do prvej rovnice a dostaneme
[mathjax2]\delta = \sqrt[3]{\frac{\alpha}{x^3+3xu}},[/mathjax2] co ak nie je cele cislo tak nemame riesenie, ak je tak OK a doratame [mathjax]\gamma[/mathjax]

↑ Honzc:
Mě to vyšlo C stejně,
a D jinak, ale taky funkčně:
[mathjax]D=\frac{A-C^{3}}{3 \cdot C}[/mathjax]
nebo:
[mathjax]D=C^{2}+\sqrt[3]{B-A^{2}}[/mathjax]
ten druhý výraz je vlastně identický s tvým (B je vždy větší jak A).

↑ Honzc:
Myslel jsem to tak, že k vyjádření [mathjax]\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}[/mathjax] používáš zase  [mathjax]\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}[/mathjax]. Je to stejné, jako bys x vyjádřil jako 2x – x.