Matematické Fórum

surovec napsal(a):

↑↑ laszky:
hlavně ten objev rovnosti $a^2-b$

O mnoho cennější než samotná rovnost je vědět jak takovou rovnost objevit.

Tak ten můj postup zabere, není nutné řešit kubickou rovnici, ale ta podmínka tam není tak explicitní.

Např. vyjadřujeme $\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}$, což po přepsání na čtvercůprosté b znamená $\sqrt[3]{10+6.\sqrt{3}}$. Tedy a=10,b=3,x=6.
Potom aby byla splněna podmínka mod 3, je nutné volit jako dělitele y čísla x jen čísla 1 nebo 2. Ale celočíselné řešení rovnice má jen případ y=1, a pak máme c=1, d=3, tedy celkem $1+\sqrt{3}$.

laszky napsal(a):

Protoze je $a^2-b=(c^2-d{)}^3$

Jak se vůbec na něco takového přijde?

↑↑ check_drummer:

Další zajímavá nutná podmínka je, že $c^2+3b$ dělí a, takže c můžeme hledat i tak, že budeme postupně k 3b přičítat čtverce a zkoumat zda výsledek dělí a. A navíc musí i c dělit a, takže jen čtverce takových čísel stačí uvažovat.

Je to zajímavý, zkouším vymyslet nějaký příklad, kdy to číslo b má hodně dělitelů (aby mákův algoritmus a možná i Wofram běžely dlouho) a nedaří se - i když je to číslo b velké, tak vždy tam má nějaký velký prvočíselný dělitel....

Ale třeba je to statsticky dáno, že náhodné číslo má celkem málo prvnočíselných dělitelů a pár z nich bude hodně velkých.

↑ check_drummer:

Proste jsem tyto vztahy

laszky napsal(a):

$a=c^3+3cd$
$b=d(3c^2+d{)}^2$

chtel nejak odecist/secist, aby se mi povedlo vyjadrit $c$ nebo $d$. K tomu bylo nutne umocnit $a$ na druhou, a pak uz to vyslo. Takze nic extra sofistikovanyho.

Btw, funguje to i kdyz tam misto treti odmocniny bude jakakoli jina odmocnina:

$a+\sqrt{b}=(c+\sqrt{d}{)}^k\iff a^2-b=(c^2-d{)}^k$

Zrejme to je tim, ze kdyz

$a+\sqrt{b}=(c+\sqrt{d}{)}^k$, pak taky
$a-\sqrt{b}=(c-\sqrt{d}{)}^k$

A vynasobenim techto dvou rovnic ziskame

$a^2-b=(c^2-d{)}^k$

Asi to nejak souvisi s celymi algebraickymi cisly, takze by to mohlo jit i dale zobecnovat.

↑ check_drummer:
Podle všeho je počet dělitelů čísla n zhruba log(n), takže by ty algoritmy měly být rychlé.

Maximu online jsem našel pouze na adrese Odkaz

Program počítá hodnoty C a D a hodnot A a B podle rovnice:
(A+sqrt(B))^(1/3) = C+sqrt(D) = Z
Přičemž proměnou Z používá program.
Také využívá toho, že číslo B je beze zbytku dělitelné číslem D.
Dále, že číslo D je mnohem menší jak B.
Proto nejprve zjistí všechny dělitele čísla B a ze seznamu vybírá
od nejmenšího postupně jednotlivé hodnoty K jejíž druhou odmocninu
postupně buď přičte, nebo odečte od cílové hodnoty Z.
Pokud je zbytek celé číslo, pak jsme našli hodnotu C i D a program předčasně ukončíme.
Vzhledem k tomu, že výsledná hodnota D je nízká, tak počet testů je velmi malý.
Celkový počet testů je počet dělitelů čísla B, takže i pokud problém nemá řešení
a musí projít všechny dělitele, pak stejně program je poměrně rychlý.
U programu se zbytečně testují dělitelé K=[1,4,9,16, atd...], pokud tam jsou, jejíž druhá odmocnina je celé číslo.
Pokud jsem přidal test, který tyto hodnoty vylučuje, tak se program znatelně nezrychlí.

Rychlost programu je i na největší čísla pod 7 milisekund.

↑ mák:
Takže ty máš Mximu staženou a nainstalovanou na lokální PC?

↑ surovec:
Tak mi to nedalo a řešením by mělo být
$c=\frac{\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}}{2}$
$d=c^2-\sqrt[3]{a^2-b}$

↑ Honzc:
No jo, ale to jsi to vyjádřil pomocí toho, co je vstupní údaj...

↑ surovec:
A jak jinak než pomocí vstupních údajů to chceš vyjádřit.
Ta tvá kubická rovnice snad používá jiné než zadané hodnoty?

↑ surovec:
To ale tak není
Výraz $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$ je přeci něco jiného než výraz $\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$
Takže žádné 2x a x
Vždyť si můžeš dosadit hodnoty a,b z tvého příkladu v příspěvku #11