Matematické Fórum
Archiv diskusního fóra o matematice, 2006–2026
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic
#1 26. 03. 2025 17:37 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 17:39)
- Chobot
- Příspěvky: 71
- Reputace: 1
Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic
Ahoj. Řeším problém zadaný jako [mathjax]\int |x| dxdy[/mathjax] kde oblast integrace je [mathjax]x^{2} + y^{2} - 4y \leq 0[/mathjax], [mathjax]x^{2} + y^{2} - 2y \geq 0[/mathjax] a [mathjax]y \leq -x[/mathjax]. První dvě nerovnice samozřejmě upravím do tvaru kruhu a zasubstituuju do polárních souřadnic a dostanu [mathjax]r(r-4\sin\alpha) \leq 0[/mathjax], [mathjax]r(r-2\sin\alpha) \geq 0[/mathjax] a [mathjax]\sin\alpha \leq -\cos\alpha[/mathjax]. Jelikož r musí být nezáporné, tak z první rovnice mám [mathjax]r \leq 4\sin\alpha[/mathjax], z druhé [mathjax]r \geq 2\sin\alpha[/mathjax] (což jsou meze pro r. Poslední nerovnice platí když [mathjax]\frac{3\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{7\pi}{4}[/mathjax], což jsou hranice pro onen integrál. Je to správně?
Offline
#2 26. 03. 2025 20:48 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:38)
- Brano
- Příspěvky: 2674
- Reputace: 232
Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic
podla mna OK, len pozor treba to dat v spravnom poradi, vonkajsi integral cez alfa:[mathjax]\frac{3\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{7\pi}{4}[/mathjax] a vnutri integral cez r: [mathjax]2\sin\alpha\leq r \leq 4\sin\alpha[/mathjax]
EDIT: je tu chyba, vid nizsie.
Offline
#3 26. 03. 2025 21:18 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 21:33)
- Chobot
- Příspěvky: 71
- Reputace: 1
Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic
↑ Brano:
OK. A pokud se nemýlím, tak po substituci dostanu integrál z funkce [mathjax]|rcos\alpha|r[/mathjax]. Jelikož je r kladné, tak dostanu [mathjax]r^{2}|cos\alpha|[/mathjax]. Tu absolutní hodnotu pak musím rozsekat na intervaly kde kosinus je záporný, což je pro [mathjax]\frac{3\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{3\pi}{2}[/mathjax] a kladný, což je [mathjax]\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{7\pi}{4}[/mathjax], je to tak?
Jestli ano, tak jak to, že mi to vychází jako záporné číslo? Jak je možné, že integrál z absolutní hodnoty mi vychází záporný?
Offline
#4 26. 03. 2025 22:31 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:44)
- Brano
- Příspěvky: 2674
- Reputace: 232
Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic
uz vidim kde bude problem
tam kde je [mathjax]\sin\alpha<0[/mathjax] je hranica pre [mathjax]r: 2\sin\alpha\leq r\leq 4\sin\alpha[/mathjax] prazdna mnozina, cize treba uvazovat iba take alpha, kde [mathjax]\sin\alpha\geq 0[/mathjax]
co ti da hranice pre [mathjax]\alpha: \frac{3}{4}\pi\leq\alpha\leq\pi[/mathjax] ... tam je cely cas [mathjax]\cos\alpha < 0[/mathjax], takze nemusis uz nic potom delit, staci zmenit znamienko.
ked si tu oblast nakreslis tak to aj hned uvidis ... po korekcii mi to vyslo [mathjax]\frac{7}{6}[/mathjax] ale nerucim, ze som neurobil numericku chybu, tak neidem pisat detaily
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic