Matematické Fórum

Chobot · 26. 03. 2025 17:37 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 17:39)

Ahoj. Řeším problém zadaný jako $\int | x | d x d y$ kde oblast integrace je $x^{2} + y^{2} - 4 y \leq 0$ , $x^{2} + y^{2} - 2 y \geq 0$ a $y \leq - x$ . První dvě nerovnice samozřejmě upravím do tvaru kruhu a zasubstituuju do polárních souřadnic a dostanu $r (r - 4 \sin α) \leq 0$ , $r (r - 2 \sin α) \geq 0$ a $\sin α \leq - \cos α$ . Jelikož r musí být nezáporné, tak z první rovnice mám $r \leq 4 \sin α$ , z druhé $r \geq 2 \sin α$ (což jsou meze pro r. Poslední nerovnice platí když $\frac{3 π}{4} \leq α \leq \frac{7 π}{4}$ , což jsou hranice pro onen integrál. Je to správně?

Brano · 26. 03. 2025 20:48 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:38)

podla mna OK, len pozor treba to dat v spravnom poradi, vonkajsi integral cez alfa: $\frac{3 π}{4} \leq α \leq \frac{7 π}{4}$ a vnutri integral cez r: $2 \sin α \leq r \leq 4 \sin α$

EDIT: je tu chyba, vid nizsie.

Chobot · 26. 03. 2025 21:18 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 21:33)

↑ Brano:

OK. A pokud se nemýlím, tak po substituci dostanu integrál z funkce $| r c o s α | r$ . Jelikož je r kladné, tak dostanu $r^{2} | c o s α |$ . Tu absolutní hodnotu pak musím rozsekat na intervaly kde kosinus je záporný, což je pro $\frac{3 π}{4} \leq α \leq \frac{3 π}{2}$ a kladný, což je $\frac{π}{2} \leq α \leq \frac{7 π}{4}$ , je to tak?

Jestli ano, tak jak to, že mi to vychází jako záporné číslo? Jak je možné, že integrál z absolutní hodnoty mi vychází záporný?

Brano · 26. 03. 2025 22:31 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:44)

uz vidim kde bude problem

tam kde je $\sin α < 0$ je hranica pre $r : 2 \sin α \leq r \leq 4 \sin α$ prazdna mnozina, cize treba uvazovat iba take alpha, kde $\sin α \geq 0$
co ti da hranice pre $α : \frac{3}{4} π \leq α \leq π$ ... tam je cely cas $\cos α < 0$ , takze nemusis uz nic potom delit, staci zmenit znamienko.

ked si tu oblast nakreslis tak to aj hned uvidis ... po korekcii mi to vyslo $\frac{7}{6}$ ale nerucim, ze som neurobil numericku chybu, tak neidem pisat detaily

Chobot · 26. 03. 2025 22:57

↑ Brano:

Aha, na tohle jsem zapomněl. Původně jsem to zakalkulované měl, ale už jsem to počítal tak dlouho, že jsem na tohle zapomněl. Teď už to snad bude OK.

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2025 17:37 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 17:39)

Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic

#2 26. 03. 2025 20:48 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:38)

Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic

#3 26. 03. 2025 21:18 — Editoval Chobot (26. 03. 2025 21:33)

Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic

#4 26. 03. 2025 22:31 — Editoval Brano (26. 03. 2025 22:44)

Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic

#5 26. 03. 2025 22:57

Re: Dvojný integrál a převod do polárních souřadnic

Zápatí