Matematické Fórum

↑ ChatGPT:
Tabulka v kap. 7.6: Násobení číslem c · ∞a = ∞ca Pro c = 0 vyjde 0. - nemá tam být: "Pro c = 0 vyjde a." ?

↑ ChatGPT:
Mám (2/0).(2/0)=(4/0), ale taky (2/0).2=(4/0), neplyne z toho tedy že (2/0)=2?

jde spočítat (a/0) / (b/0) ?

Dobrý den,

děkuji za konkrétní připomínky a příklady. Přesně takové testování pravidel jsem při zveřejnění hledal. Pokusím se odpovědět postupně podle definic uvedených v práci.

1. Obyčejné číslo x jako dvojice (x, x)

Dvojice (x, x) zde není zlomek x/x. Jde o uspořádanou dvojici v R × R.

V kapitole 7.4 je použito zobrazení:

x + ∞a ↔ (x, x + a).

Obyčejné číslo x je v modelu x + ∞0, a proto mu odpovídá:

x + ∞0 ↔ (x, x).

Například obyčejné číslo 2 odpovídá dvojici (2, 2), zatímco čistý označený objekt ∞2 odpovídá dvojici (0, 2).

Toto vložení zachovává běžné operace:

(x, x) + (y, y) = (x + y, x + y),

(x, x) · (y, y) = (xy, xy).

Dvojice (x, x) se tedy chovají přesně jako obyčejná reálná čísla, nikoli jako nekonečna.

2. Pravidlo c · ∞a = ∞ca pro c = 0

Pro c = 0 skutečně vyjde nula, nikoli a:

0 · ∞a = ∞0·a = ∞0 = 0.

Totéž lze ověřit pomocí dvojic:

0 ↔ (0, 0),
∞a ↔ (0, a),

(0, 0) · (0, a) = (0, 0).

Konvence ∞0 = 0 je v modelu zavedena právě proto, aby pro označené objekty zůstalo zachováno běžné násobení nulou.

3. Kolik je (0·a)/0 a 0·(a/0)?

Pro obyčejné reálné a platí:

(0·a)/0 = 0/0 = ∞Ω.

Druhý výraz závisí na a. Pro a ≠ 0:

0·(a/0) = 0·∞a = 0.

Pro a = 0:

0·(0/0) = 0·∞Ω = ∞Ω,

protože ∞Ω je v pracovní variantě pohlcující chybový prvek.

Pro a ≠ 0 tedy oba výrazy nemají stejný výsledek. Není to ale rozpor mezi dvěma povolenými výpočty stejného výrazu. Úprava

(xy)/z = x·(y/z)

předpokládá běžné dělení nenulovým z. V tomto modelu dělení nulou není násobením převrácenou hodnotou nuly, ale samostatnou větví definice. Proto tuto úpravu pro z = 0 nelze použít.

4. Plyne z (2/0)·(2/0) = (2/0)·2, že 2/0 = 2?

Ne, protože označeným objektem ∞2 nelze krátit. Nemá násobnou inverzi.

Pomocí reprezentace dvojic:

2/0 = ∞2 ↔ (0, 2),
2 ↔ (2, 2).

Potom:

(0, 2) · (0, 2) = (0, 4),

a současně:

(0, 2) · (2, 2) = (0, 4).

Přesto (0, 2) ≠ (2, 2).

Jde o příklad selhání zákona krácení. Prvek (0, 2) není invertibilní, takže z rovnosti ∞2·∞2 = ∞2·2 nelze odstranit společný činitel ∞2.

5. Lze spočítat (a/0)/(b/0)?

V minimální verzi modelu ne. Pro nenulová a a b jde o:

∞a / ∞b.

Kapitola 8.5 tento podíl ponechává nedefinovaný. V reprezentaci dvojic jsou:

∞a = (0, a),
∞b = (0, b).

Komponentní dělení by v první složce vyžadovalo 0/0. Prvek (0, b) navíc nemá násobnou inverzi v R × R, takže jím nelze obecně dělit.

6. Kolik je 1/(a/0)?

Pro a ≠ 0 jde o 1/∞a a tento výraz je rovněž v minimálním modelu nedefinovaný.

Důkaz pomocí dvojic: ∞a = (0, a). Aby existovala jeho převrácená hodnota (u, v), muselo by platit:

(0, a) · (u, v) = (1, 1).

V první složce by však bylo nutné splnit 0·u = 1, což není možné. Objekt ∞a tedy nemá násobnou inverzi.

Vaše připomínky jsou užitečné také tím, že ukazují, co by bylo vhodné v případné další verzi textu zdůraznit: že (x, x) je uspořádaná dvojice, nikoli zlomek, a že označené objekty obecně nejsou invertibilní, takže jimi nelze krátit ani dělit.

Ano, zápis (x,a) by byl jednodušší jako pouhé uložení běžné a označené složky. Důvod pro použití (x,x+a) je ale ten, že pak lze dvojice sčítat a násobit obyčejně po složkách.

Pro násobení platí:

(x,x+a)(y,y+b) = (xy,(x+a)(y+b)) = (xy,xy+xb+ya+ab).

Protože dvojice (u,u+c) odpovídá prvku u + [mathjax]∞_c[/mathjax] , výsledek odpovídá:

[mathjax]xy + ∞_{(xb+ya+ab)}[/mathjax]

což je přesně pravidlo násobení zavedené v kapitole 7.3.

Při reprezentaci (x,a) by komponentní násobení dalo pouze (xy,ab), takže by chyběly členy xb a ya. Muselo by se proto zavést vlastní pravidlo:

(x,a)·(y,b) = (xy,xb+ya+ab).

Reprezentace (x,x+a) tedy není zvolena kvůli kratšímu zápisu, ale proto, aby celý systém odpovídal běžným komponentním operacím v R×R.

„Běžnými komponentními operacemi“ myslím:

(p,q) + (r,s) = (p+r,q+s),

(p,q) · (r,s) = (pr,qs).

Rozdíl mezi oběma zápisy je tedy tento:

1. Zápis (x,a)

Je intuitivnější, protože první složka je běžná část x a druhá složka je přímo štítek a.

Sčítání může být komponentní:

(x,a) + (y,b) = (x+y,a+b).

Násobení však nemůže být běžné komponentní násobení, protože to by dalo:

(x,a) · (y,b) = (xy,ab),

zatímco pravidlo modelu vyžaduje:

(x,a) * (y,b) = (xy,xb+ya+ab).

Musí se tedy zavést zvláštní operace *.

2. Zápis (x,x+a)

Je méně intuitivní, protože druhá složka není přímo a, ale x+a.

Jeho výhodou je, že sčítání i násobení jsou obyčejné komponentní operace:

(x,x+a) + (y,y+b)
= (x+y,x+y+a+b),

(x,x+a) · (y,y+b)
= (xy,(x+a)(y+b)).

Po odečtení první složky od druhé dostaneme štítek xb+ya+ab, tedy přesně pravidlo modelu.

Výhoda zápisu (x,x+a) proto není v kratším zápisu, ale v tom, že asociativita, komutativita a distributivita se přebírají přímo z běžných operací v R×R.

Výhoda zápisu (x,a) je naopak větší názornost, ale násobení musí být definováno zvláštním vzorcem.

Oba zápisy jsou matematicky rovnocenné a převádějí se zobrazením:

(x,a) ↔ (x,x+a).

↑ ChatGPT:
A teď asi to nejpodstatnější:
1) Platí pro ta zobecněná čísla distributivní zákon? Tedy x.(y+z)=x.y+x.z?
2) Existuje k číslu x opačný prvek, tj. x+(-x)=0?
3) Platí že pro x=y platí i x+z=y+z ?

Jak se vůbec v těchto obecných číslech zapíše číslo 0?

↑ ChatGPT:
Platí, že když je x.y=0,tak je x=0 nebo y=0?

1. Ne, pro obecné prvky modelu to neplatí.

Například:

X = 1 + [mathjax]\infty _{-1}[/mathjax] ↔ (1,0),
Y = [mathjax]\infty _1[/mathjax] ↔ (0,1).

X i Y jsou nenulové, ale:

X·Y ↔ (1,0)·(0,1) = (0,0),

tedy X·Y = 0.

Model proto obsahuje dělitele nuly.

2. Ano, platí:

X·(Y−Z)
= X·(Y+(−Z))
= X·Y+X·(−Z)
= X·Y−X·Z.

To platí v běžné algebraické části modelu bez speciálního prvku [mathjax]\infty _{\Omega }[/mathjax].