Matematické Fórum

Pavel · 02. 11. 2009 14:48

Najděte spojitou funkci definovanou na intervalu [0,1], která je nulová na Cantorově množině a nenulová mimo ní.

Pavel Brožek

Sestrojím funkční hodnotu $f(x)$ v bodě $x$ mimo Cantorovu množinu:

Doplněk Cantorovy množiny $C$ do množiny $[0,1]$ je otevřená množina (Cantorova množina je totiž uzavřená.). Existují tedy takové intervaly $(a, b)\subset[0,1]\setminus C$ , že $x\in(a,b)$ . Vezmu $A=\inf\,a$ a $B=\sup\,b$ z takových $a, b$ , jak jsem popsal. Zřejmě $A, B\in C$ . Je tedy zřejmé, že pro každé $y\in(A,B)$ bych našel stejné body $A$ a $B$ a proto následující definice bude korektní:

$f(x)=\textrm{e}^{-\tan^2\[\frac{\pi}{B-A}$x-\frac{A+B}{2}$\]}\qquad\qquad \textrm{pro}\qquad x\in(A,B)$

A mám ji dokonce hladkou :-)

Rumburak · 02. 11. 2009 15:11

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 02. 11. 2009 16:16 — Editoval Pavel (02. 11. 2009 16:21)

↑ Rumburak:

Pěkné řešení.

↑ BrozekP:

Taky by to šlo, ale ta infima a suprema by musela být zapsána jinak. Já bych vzal $x\not\in C$ a posloupnost všech otevřených intervalů $\{(a_{\alpha},b_{\alpha})\}_{\alpha\in J}$ , kde $J$ je nějaká indexová množina, tak, že $x\in (a_{\alpha},b_{\alpha})$ a $(a_{\alpha},b_{\alpha})\cap C=\emptyset$ pro $\alpha\in J$ . Pak položme $A=\inf_{\alpha\in J} a_{\alpha}$ a $B=\sup_{\alpha\in J} b_{\alpha}$ .

Pak by stačilo položit

$f(x)=(x-A)^2(x-B)^2\qquad\qquad \text{pro}\qquad x\in(A,B)$ .

Pavel Brožek · 02. 11. 2009 16:34

↑ Pavel:

Tvůj zápis vyjadřuje přesně to, co jsem myslel. Chtěl jsem si ušetřit práci, tu část věty "z takových $a, b$ , jak jsem popsal" jsem myslel tak, že k zápisům infima a suprema je potřeba dodat, co a a b znamenají, tedy něco jako

$A=\inf_{\hspace{80px} a\in(0,1)\nl \exists b\in(a,1):\,x\in(a,b)\wedge(a,b)\cap C=\emptyset} a$ .

Kdybych použil

$f(x)=(x-A)^2(x-B)^2\qquad\qquad \text{pro}\qquad x\in(A,B)$ ,

nemohl bych pak napsat, že výsledná funkce bude hladká funkce :-) (Ale abych pravdu řekl, nedokazoval jsem si, že ta co jsem napsal má všechny derivace v A, B rovny nule, pouze to tuším.)

(Hladkou tedy myslím $C^{\infty}([0,1])$ .)

Matematické Fórum

#1 02. 11. 2009 14:48

Funkce z Horní Bečvy

#2 02. 11. 2009 15:09 — Editoval BrozekP (02. 11. 2009 15:18)

Re: Funkce z Horní Bečvy

#3 02. 11. 2009 15:11

Re: Funkce z Horní Bečvy

#4 02. 11. 2009 16:16 — Editoval Pavel (02. 11. 2009 16:21)

Re: Funkce z Horní Bečvy

#5 02. 11. 2009 16:34

Re: Funkce z Horní Bečvy

Zápatí