Matematické Fórum

marnes · 28. 11. 2009 16:52

Dobrý den. Řešíme rovnice s polovičním argumentem, např rovnici

$sin{\frac{x}{2}}+cosx=1$

ja jsem zvyklej řešit pomocí substituce, tudíž není potřeba zkouška. Vyjdou tam úhly a u nich perioda 4kpí. Viděl jsem ale i řešení pomocí

$sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{{\frac{1-cosx}{2}}$ kde je ještě sinx v absolutní hodnotě. Když vyřeším pomocí tohoto předpisu, tak musíme umocnit - neekvivalentní úprava, tudíž zkouška.

Při řešení oběma způsoby vyjdou stejné základní úhly. U 2 řešení ještě něco navíc, ale zkouška přebytečné vyloučí. V čem je problém. U druhého řešení nedělám zkoušky pro interval 2pí až 4pí, což by mě normálně nenapadlo. Takže rozdíl v řešení je ten, že se shoduju v základním úhlu, ale ne v periodě. Moje otázka tedy zní, když řeším pomocí
$sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{{\frac{1-cosx}{2}}$ , tak musím automaticky zdvojnásobit periodu?
Snad je můj dotaz k pochopení. Děkuji za čas a ochotu.

jelena · 28. 11. 2009 21:20

↑ marnes:

jsem zastance této úpravy:

$sin{\frac{x}{2}}+\cos x=1$

$sin{\frac{x}{2}}+\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}$

$sin{\frac{x}{2}}-2\sin^2\frac{x}{2}=0$

$sin{\frac{x}{2}}(1-2\sin \frac{x}{2})=0$

U goniometrických funkcí se snažím substituci nepoužívat, ale rovnou řešit:

$1-2sin{\frac{x}{2}}=0$

$sin{\frac{x}{2}}=\frac12$

$\frac{x_1}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ nebo $\frac{x_2}{2}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$

$\boxed{{x_1}=\frac{2\pi}{6}+4k\pi}$ nebo $\boxed{{x_2}=\frac{10\pi}{6}+4k\pi}$

$\sin{\frac{x}{2}}=0$

$\frac{x_3}{2}=0+k\pi$

$\boxed{{x_3}=0+2k\pi}$

úpravy nebudu provádět, nechám to tak, aby bylo vidět, jak to vzniklo (děkuji za upozornění na chyby).

Jiný způsob bych nepoužila, jelikož bych se bala neekvivalentních úprav (u substituce bych se bala, že něco vynecham).

Je možné, že někdo z kolegů má jiný názor, přeci jen jsem utopické minulé století, navíc se vzděláním mimo EU :-)

marnes · 28. 11. 2009 22:04

↑ jelena:
Děkuji za reakci. Tvé řešení je pro mě srozumitelné, se stejným výsledkem, jako bych použil substituci x/2=u. I u tvého řešení vychází perioda za x1 a x2 4kpí.
V knize řešené příklady z matematiky pro střední školy ( Ján Kováčik ) je právě řešen příklad tím
$sin{\frac{x}{2}}=\sqrt{{\frac{1-cosx}{2}}$ , kde vychází u x1 a x2 perioda 2kpí a pak provádí zkoušku. Samozřejmě mohu studentům říct, aby používali tvé metody, nebo té mé, ale připadá mi to takové surové bez vysvětlení. Nechtěl jsem je jen tak odbýt. Navíc i mě samotného to překvapilo. Třeba by stačilo říct, že když používáme daný předpis, musíme 2x zvětšit periodu. Zkusím to nějak zaonačit:-) Ještě jednou díky.

halogan · 28. 11. 2009 22:35

↑ jelena:

Úpravy beru, též nerad používám neekvivalentní úpravy, zvlášť u tak nevyzpytatelných (čti periodických) funkcí, jako jsou ty goniometrické.

V jednom se ale lišíme - já rád substituci. Je v ní vidět, co používám za vzorec či za úpravu. Podle mě studentům vadí (nebo se jim to zdá nepřehledné), když používají vzorec pro dvojnásobný argument, ale pracují s $x$ , nikoliv s $2x$ . Jistě, bystřejší to berou, ale méně chápaví mají problém i s tímto.

Na VŠ bych se takové úpravy nebál udělat (i když je ani tam často nestíhám :-), ale na SŠ (tím spíš na ZŠ) použil substituci.

Za závěr bych zacitoval kolegyni:

Ivana napsal(a):
Ze své zkušenosti mohu tvrdit , že 10% se opravdu něco chce naučit , 30-40% tak zvaně z musu začne na sobě pracovat a zbytek je štastný, že alespoň proleze. Je to špatné, ale je to tak.

Hezký zbytek večera přeji.

jelena · 28. 11. 2009 23:15

↑ halogan:

OT:

Řeknu jinak - mám k substituci neutrální vztah (je to operace navíc, proto z úsporných důvodu se vyhybám), ovšem když to nepůjde jinak, tak jaké já umím kreslit n-dimenzionální jablka...

Při posledním výkladu derivací složených funkcí nezabralo ani cibule z metody K-K, ani ořech, ani východní varianta, tak jsem vymyslela toto (pravda, měla jsem virozu a teplotu):

tabulková derivace: $(2^x)^{\prime}=2^x\cdot \ln2$

derivace složené funkce: $$2^{cosx}$^{\prime}=2^{cos x}\cdot \ln2 \cdot(-\sin x)$ pořad byl problém, co je vnější, vnitřní atd.

Vnitřní funkci jsme schovali do krabice a krabice je přelepena páskou tak, aby vzniklo x - tedy máme tabulkovou derivaci
$$2^{\boxed{X}}$^{\prime}=2^{\boxed{X}}\cdot \ln2 \cdot(\boxed{X}^{\prime})$ , ovšem na závěr nás zajimá, co je v krabici, tak tu pásku odstraníme a zderivujeme obsah. Krabic může být hodně.

----------------------
Pro kolegu marnese - budu se snažit zdůvodnit svůj postup a postup pana Kováčika, co se tyče problémových míst, snad se podaří. Mějte se pěkně а спокойной ночи:-)

Pavel Brožek · 28. 11. 2009 23:57

marnes napsal(a):
Třeba by stačilo říct, že když používáme daný předpis, musíme 2x zvětšit periodu.

To by nebylo moc přesné, nebyl by v tom vidět ten pravý důvod, proč se perioda může 2x zvětšit.

Je třeba si uvědomit, že když nám po důsledkové úpravě vyjde např. výsledek $x=\frac{\pi}5+k\pi$ , tak zkoušku neprovádíme pouze pro nějaké konkrétní $k$ (nabízelo by se provést zkoušku pro $\frac{\pi}5$ a $\frac{6\pi}{5}$ , protože jsou z intervalu $[0,\,2\pi)$ ), ale pro všechna $k\in\mathbb{Z}$ . To, že to obvykle je ekvivalentní s provedením zkoušky pro nějakých pár hodnot (např. pro ty dvě uvedené) je dáno periodicitou funkcí, které se v rovnosti vyskytují. Když budu mít rovnici (s libovolnou funkcí f)

$f(\sin(x),\cos(x))=0$

a dosadím do ní obecné řešení, pro které provádím zkoušku

$f(\sin(\frac{\pi}5+k\pi),\cos(\frac{\pi}5+k\pi))=0$ ,

je zřejmé, že argumenty funkce f budou pro všechna $k$ rovna pouze sinu a kosinu v $\frac{\pi}5$ nebo $\frac{6\pi}{5}$ . Pokud by tam ale byly např. siny polovičního argumentu

$f(\sin(\frac{x}2),\cos(x))=0$ ,

tak dostaneme víc různých argumentů funkce f.

Doufám, že jsem to nepopsal moc obecně a je to ještě srozumitelné :-).

marnes · 29. 11. 2009 11:14

↑ BrozekP:
Děkuji za reakci a vysvětlení. Pochopil jsem to tak, že se v rovnici vyskytuje x/2, tudíž abych nezapomněl vyloučit nějaký kořen, musím provést zkoušku nebo diskuzi na intervalu 4pí ( 2x větším - protože grag funkce sin (x/2) se roztáhne právě na interval 0;4pí)

zdenek1 · 29. 11. 2009 12:50

↑ marnes:
Tak nějak to bude. Ještě se vrátím k těm studentům. Kdybych toto musel vysvětlovat, vzal bych si na to grafy

Z toho je krásně vidět, že celá "struktura" řešení se opakuje s periodou "pomalejší" funkce, takže při rozboru řešení se musíme řídit touto periodou.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2009 16:52

Dotaz na goniometrické rovnice

#2 28. 11. 2009 21:20

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

#3 28. 11. 2009 22:04

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

#4 28. 11. 2009 22:35

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

Ivana napsal(a):

#5 28. 11. 2009 23:15

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

#6 28. 11. 2009 23:57

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

marnes napsal(a):

#7 29. 11. 2009 11:14

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

#8 29. 11. 2009 12:50

Re: Dotaz na goniometrické rovnice

Zápatí